자연계열 I 3-2번

중앙대 2022학년도 수시 자연계열 I 3-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2022su/jayeon1_3_2

[문제 3] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이면 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 이 닫힌구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다.

● 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 두 함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 의 도함수가 연속일 때 다음 식이 성립한다. $\displaystyle \int_a^b f(x)g^{\prime}(x)dx=\Biggl[f(x)g(x)\Biggr]_a^b-\int_a^b f^{\prime}(x)g(x)dx$

● 미분가능한 함수 $\displaystyle g(t)$ 에 대하여 $\displaystyle x=g(t)$ 로 놓으면 $\displaystyle \int f(x)dx=\int f(g(t))g^{\prime}(t)dt$ 이다.

[문제 3-2] $\displaystyle 0\le x\le\frac\pi3$ 에서 정의된 연속함수 $\displaystyle f(x)$ 는 다음을 만족한다.

(가) $\displaystyle (f(x))^2\cos^2x-2f(x)(1+\sin x)\cos x+(1+\sin x)^2\cos^2x=0$

(나) $\displaystyle f\left(\frac\pi6\right)=\frac{3\sqrt3}2$

이때 정적분 $\displaystyle \int_0^{\frac\pi6}\{f^{\prime}(x)\cos x-f(x)\sin x\}e^{\sin x}dx$ 의 값을 구하시오. [15점]

해설강의 준비중

중앙대 2022학년도 수시 자연계열 I 3-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2022su/jayeon1_3_2

[문제 3-2]

+8점 ·

\displaystyle \cos xf(x)=(1+\sin x)^2

을 구하면

조건 (가)에서 주어진 식을 $\displaystyle (1+\sin x)^2$ 로 나누고 이차방정식을 풀어서 정리하면 $\displaystyle \frac{\cos x}{1+\sin x}f(x)=1\pm\sin x$ 이고 조건 (나)를 만족시키는 연속함수는 다음과 같다. $\displaystyle \cos x f(x)=(1+\sin x)^2$ (*)

+7점 · 치환적분 (+3점), 부분적분 (+3점), 계산결과

\displaystyle \sqrt e

(+1점) 합하여 배점

$\displaystyle f^{\prime}(x)\cos x-f(x)\sin x=(f(x)\cos x)^{\prime}$ 을 고려하고 (*)을 쓰면 $\displaystyle (f(x)\cos x)^{\prime}=((1+\sin x)^2)^{\prime}=2(1+\sin x)\cos x$ 이므로 $\displaystyle \int_0^{\frac\pi6}(f^{\prime}(x)\cos x-f(x)\sin x)e^{\sin x}dx=\int_0^{\frac\pi6}2(\sin x+1)\cos x\,e^{\sin x}dx$ 이고 $\displaystyle \sin x=t$ 로 치환적분하면 $\displaystyle \int_0^{\frac12}2(t+1)e^t dt$ 이 되고 부분적분하면 $\displaystyle \sqrt e$ 가 된다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 1~2점의 부분 점수를 부여할 수 있음.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 –0.5~+0.5점을 부여할 수 있음.

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