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자연계열 II 1번

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중앙대 2022학년도 수시 자연계열 II 1번 · 해설강의 무료 공개 · mathesis.kr/archive/cau/2022su/jayeon2_1

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문제

[문제 1] 다음 상황에 기초하여 문제에 답하시오.

그림과 같이 좌표평면 위에 좌표가 (1,1)\displaystyle (1,1), (1,2)\displaystyle (1,2), ⋯\displaystyle \cdots, (m,n)\displaystyle (m,n)인 m×n\displaystyle m\times n개의 점이 있다. 이 중 4개의 점을 택하여 만들 수 있는 직사각형 중 넓이가 1인 것을 제외한 개수를 A(m,n)\displaystyle A(m,n)이라고 정의한다. (단, m\displaystyle m, n\displaystyle n은 1보다 큰 자연수이다.)

m×n개의 격자점

A(3,100)−A(2,100)\displaystyle A(3,100)-A(2,100)을 구하시오. [20점]

중앙대 2022학년도 수시 자연계열 II 1번 · 해설강의 무료 공개 · mathesis.kr/archive/cau/2022su/jayeon2_1

+6점 · A(2,n)=2C2×nC2−(n−1)=nC2−(n−1)\displaystyle A(2,n)={}_{2}\mathrm{C}_{2}\times{}_{n}\mathrm{C}_{2}-(n-1)={}_{n}\mathrm{C}_{2}-(n-1)의 수식을 유도하거나, A(2,100)=100C2−99=4851\displaystyle A(2,100)={}_{100}\mathrm{C}_{2}-99=4851을 바르게 계산한 경우

(1) m=2\displaystyle m=2인 경우

m=2인 경우의 격자점과 직사각형

- x\displaystyle x축과 평행한 n\displaystyle n개의 선들 중에서 2개를 선택하여 만들 수 있는 직사각형의 개수를 구하면 2C2×nC2\displaystyle {}_{2}\mathrm{C}_{2}\times{}_{n}\mathrm{C}_{2}이다.

- 이때, 넓이가 1인 직사각형의 개수는 n−1\displaystyle n-1이다.

- 따라서, A(2,n)=2C2×nC2−(n−1)=nC2−(n−1)\displaystyle A(2,n)={}_{2}\mathrm{C}_{2}\times{}_{n}\mathrm{C}_{2}-(n-1)={}_{n}\mathrm{C}_{2}-(n-1)이다.

+12점 · A(3,n)−A(2,n)=3nC2−n−nC2+(n−1)=2nC2−1\displaystyle A(3,n)-A(2,n)=3{}_{n}\mathrm{C}_{2}-n-{}_{n}\mathrm{C}_{2}+(n-1)=2{}_{n}\mathrm{C}_{2}-1의 수식을 유도하거나, A(3,100)=3100C2−100=14750\displaystyle A(3,100)=3{}_{100}\mathrm{C}_{2}-100=14750을 바르게 계산한 경우 (단, 대각선으로 만들어지는 직사각형의 개수 n−2=98\displaystyle n-2=98개를 빠뜨린 경우는 8점만 부여함)

(2) m=3\displaystyle m=3인 경우

- x\displaystyle x축과 평행한 n\displaystyle n개의 선들 중에서 2개를 선택하고 y\displaystyle y축과 평행한 3개의 선들 중에서 2개를 선택하여 만들 수 있는 직사각형의 개수를 구하면 3C2×nC2\displaystyle {}_{3}\mathrm{C}_{2}\times{}_{n}\mathrm{C}_{2}이다.

- x\displaystyle x축, y\displaystyle y축과 평행하지 않은 선으로 만들 수 있는 직사각형은 n−2\displaystyle n-2개 있다.예시)

m=3인 경우 축에 평행하지 않은 직사각형

- 이때 넓이가 1인 직사각형의 개수는 2(n−1)\displaystyle 2(n-1)이다.

- 따라서, A(3,n)=3C2×nC2+(n−2)−2(n−1)=3nC2−n\displaystyle A(3,n)={}_{3}\mathrm{C}_{2}\times{}_{n}\mathrm{C}_{2}+(n-2)-2(n-1)=3{}_{n}\mathrm{C}_{2}-n

+2점 · A(3,100)−A(2,100)=9899\displaystyle A(3,100)-A(2,100)=9899를 바르게 계산한 경우

따라서, A(3,n)−A(2,n)=3nC2−n−nC2+(n−1)=2nC2−1\displaystyle A(3,n)-A(2,n)=3{}_{n}\mathrm{C}_{2}-n-{}_{n}\mathrm{C}_{2}+(n-1)=2{}_{n}\mathrm{C}_{2}-1이므로, A(3,100)−A(2,100)=2100C2−1=9899\displaystyle A(3,100)-A(2,100)=2{}_{100}\mathrm{C}_{2}-1=9899이다.

※ 계산 실수로 틀렸어도 논리 전개 과정이 맞으면 해당 부분에 1~2점의 부분 점수를 부여함.

※ 각 부분에서 바르게 답안을 작성한 경우에도 답안의 완성도에 따라 총점 20점 이내에서 ±1점 추가 점수 부여 가능함.

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