자연계열 III 1번

묶음 시간 3번 전체 묶음: 30분

중앙대 2022학년도 수시 자연계열 III 1번 · mathesis.kr/archive/cau/2022su/jayeon3_1

[문제 1] 다음 상황에 기초하여 문제에 답하시오.

다음은 함수 $\displaystyle f(x)=2^{x-1}+2$ 와 원의 방정식 $\displaystyle (x-3)^2+y^2=9$ 의 일부이다.

$\displaystyle y$ 축 위의 점 A와 B는 다음의 규칙에 따라 이동한다.

● 1부터 4까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀있는 4장의 카드가 있다. 이 중에서 임의로 1장의 카드를 택하여 그 카드에 적혀있는 숫자를 $\displaystyle a$ 라고 하면, 점 A는 $\displaystyle (a,f(a))$ 로 이동한다.

● 주사위를 한 번 던져서 나오는 눈의 수를 $\displaystyle b$ 라고 하면, 점 B는 $\displaystyle x=b$ 와 $\displaystyle (x-3)^2+y^2=9\;(y\ge0)$ 과의 교점으로 이동한다.

위의 규칙에 따라 이동한 두 점 A와 B에서 원점까지의 거리를 각각 구하였다. 이때 각 거리 제곱의 차이가 최소가 되는 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$ 를 모두 구하시오. [20점]

해설강의 준비중

중앙대 2022학년도 수시 자연계열 III 1번 · mathesis.kr/archive/cau/2022su/jayeon3_1

+8점 · 원점에서 점 A까지의 거리를 바르게 계산한 경우

+10점 · 원점에서 점 B까지의 거리를 바르게 계산한 경우

아래와 같이 원점에서의 거리의 제곱을 구할 수 있다.

$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c}A&\text{원점에서 점 A까지 거리의 제곱}&B&\text{원점에서 점 B까지 거리의 제곱}\\\hline (1,3)&10&(1,\sqrt5)&6\\(2,4)&20&(2,\sqrt8)&12\\(3,6)&45&(3,3)&18\\(4,10)&116&(4,\sqrt8)&24\\&&(5,\sqrt5)&30\\&&(6,0)&36\end{array}$

+2점 · 거리 제곱 차이가 최소가 되는 경우를 바르게 찾은 경우

각 거리 제곱의 차이가 최소가 되는 경우는 아래와 같다.

- $\displaystyle A=(1,3)$ 과 $\displaystyle B=(2,\sqrt8)$ 일 때, 거리의 제곱의 차이는 $\displaystyle |10-12|=2$

- $\displaystyle A=(2,4)$ 와 $\displaystyle B=(3,3)$ 일 때, 거리의 제곱의 차이는 $\displaystyle |20-18|=2$

이때의 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$ 는 $\displaystyle (1,2)$ , $\displaystyle (2,3)$ 이다.

※ 계산 실수로 틀렸어도 논리 전개 과정이 맞으면 해당 부분에 1~2점의 부분 점수를 부여함.

※ 각 부분에서 바르게 답안을 작성한 경우에도 답안의 완성도에 따라 총점 20점 이내에서 ±1점 추가 점수 부여 가능함.

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