중앙대 2022학년도 수시 자연계열 III 3-1번 해설

[문제 3] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 의 그래프와 그 역함수 $\displaystyle y=f^{-1}(x)$ 의 그래프는 직선 $\displaystyle y=x$ 에 대하여 대칭이다.

● 점 $\displaystyle (x_1,y_1)$ 과 직선 $\displaystyle px+qy+r=0$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{|px_1+qy_1+r|}{\sqrt{p^2+q^2}}$ 이다.

● 두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}$ 와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ 의 내적을 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ 로 나타낸다.

● 이차방정식 $\displaystyle ax^2+bx+c=0\;(a\ne0)$ 의 두 근을 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ 라 하면 $\displaystyle \alpha+\beta=-\frac ba$ , $\displaystyle \alpha\beta=\frac ca$ 이다.

[문제 3-1] 함수 $\displaystyle f(x)=x+\frac1{2(x+1)^2}\;(x\ge0)$ 과 그 역함수 $\displaystyle f^{-1}(x)$ 가 있다. 좌표평면 위에서 $\displaystyle y=f(x)$ 의 그래프 위의 점 $\displaystyle \mathrm{A}$ 를 지나고 기울기가 $\displaystyle -1$ 인 직선을 $\displaystyle l$ 이라 할 때, 직선 $\displaystyle l$ 과 역함수 $\displaystyle y=f^{-1}(x)$ 의 교점을 $\displaystyle \mathrm{B}$ 라 하자. 두 점 $\displaystyle \mathrm{A}$ , $\displaystyle \mathrm{B}$ 와 원점 $\displaystyle \mathrm{O}$ 가 이루는 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$ 의 넓이가 최대가 되게 하는 점 $\displaystyle \mathrm{A}$ 의 좌표를 구하시오. [10점]

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[문제 3-1]

+5점 ·

\displaystyle h(t)=\frac14\left(2t+\frac1{2(t+1)^2}\right)\frac1{(t+1)^2}

구하면

$\displaystyle \mathrm{A}\left(t,t+\frac1{2(t+1)^2}\right)$ 일 때, 역함수의 성질에 의하여 $\displaystyle \mathrm{B}\left(t+\frac1{2(t+1)^2},t\right)$ 이다. 점 $\displaystyle \mathrm{A}$ 를 지나고 기울기가 $\displaystyle -1$ 인 직선의 방정식은 $\displaystyle x-t+y-\left(t+\frac1{2(t+1)^2}\right)=0$ 이므로 원점에서 거리는 $\displaystyle \frac1{\sqrt2}\left(2t+\frac1{2(t+1)^2}\right)$ 이고 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 의 길이는 $\displaystyle \frac1{\sqrt2(t+1)^2}$ 이다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$ 의 넓이를 $\displaystyle h(t)$ 라 하면 $\displaystyle h(t)=\frac14\left(2t+\frac1{2(t+1)^2}\right)\frac1{(t+1)^2}$ 이다.

+3점 · 미분하여

\displaystyle t=\frac{\sqrt5-1}2

구하면

$\displaystyle t$ 에 대하여 미분하면 $\displaystyle h^{\prime}(t)=\frac1{2(t+1)^5}(-t^3-t^2+t)$ 을 얻고 $\displaystyle t=\frac{\sqrt5-1}2$ 에서 최댓값을 갖는다.

+2점 ·

\displaystyle \left(\frac{\sqrt5-1}2,\frac{\sqrt5+1}4\right)

구하면

이때, 점 $\displaystyle \mathrm{A}$ 의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt5-1}2,\frac{\sqrt5+1}4\right)$ 이다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 1~2점의 부분 점수를 부여할 수 있음.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 –0.5~+0.5점을 부여할 수 있음.

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자연계열 III 3-1번

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