중앙대 2022학년도 수시 자연계열 III 3-2번 해설

[문제 3] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 의 그래프와 그 역함수 $\displaystyle y=f^{-1}(x)$ 의 그래프는 직선 $\displaystyle y=x$ 에 대하여 대칭이다.

● 점 $\displaystyle (x_1,y_1)$ 과 직선 $\displaystyle px+qy+r=0$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{|px_1+qy_1+r|}{\sqrt{p^2+q^2}}$ 이다.

● 두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}$ 와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ 의 내적을 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ 로 나타낸다.

● 이차방정식 $\displaystyle ax^2+bx+c=0\;(a\ne0)$ 의 두 근을 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ 라 하면 $\displaystyle \alpha+\beta=-\frac ba$ , $\displaystyle \alpha\beta=\frac ca$ 이다.

[문제 3-2] 좌표평면 위에 세 점 $\displaystyle \mathrm{A}(1,0)$ , $\displaystyle \mathrm{B}(3,0)$ , $\displaystyle \mathrm{C}(0,2)$ 가 있고, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 가 다음을 만족한다.

(가) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}}=0$

(나) 두 실수 $\displaystyle x$ , $\displaystyle y$ 에 대하여 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PC}}=x\overrightarrow{\mathrm{PA}}+y\overrightarrow{\mathrm{PB}}$ 이다.

$\displaystyle \frac{x+y}{x+3y}$ 의 최댓값을 $\displaystyle M$ , 최솟값을 $\displaystyle m$ 이라 할 때, $\displaystyle mM^2+Mm^2$ 의 값을 구하시오. [15점]

중앙대 2022학년도 수시 자연계열 III 3-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2022su/jayeon3_3_2

[문제 3-2]

+3점 · 원

\displaystyle (a-2)^2+b^2=1

임을 보이면

$\displaystyle \mathrm{P}(a,b)$ 라 하자. 조건 (가)에서 $\displaystyle (a-2)^2+b^2=1$ 이 나온다.

+5점 ·

\displaystyle x+y=\frac{b-2}b

와

\displaystyle x+3y=-\frac{2a}b

를 보이면

조건 (나)에서 $\displaystyle x+y=\frac{b-2}b$ 와 $\displaystyle a(x+y)-x-3y=a$ 가 나오고 정리하면 $\displaystyle x+y=\frac{b-2}b$ 와 $\displaystyle x+3y=-\frac{2a}b$ 이다. 따라서 $\displaystyle \frac{x+y}{x+3y}=\frac{2-b}{2a}$ 이다.

+7점 ·

\displaystyle mM(m+M)=\frac13

구하면

$\displaystyle \frac{2-b}{2a}=k$ 로 놓으면 $\displaystyle b=-2ka+2$ 이고 이것은 $\displaystyle (0,2)$ 를 지나고 기울기 $\displaystyle -2k$ 인 직선의 방정식이다. $\displaystyle k$ 가 최대, 최소가 되는 것은 원 $\displaystyle (a-2)^2+b^2=1$ 에 접할 때이다. $\displaystyle (2,0)$ 에서 직선에 이르는 거리는 $\displaystyle \frac{|4k-2|}{\sqrt{4k^2+1}}=1$ 이고 정리하면 $\displaystyle 12k^2-16k+3=0$ 이다. $\displaystyle M=\frac{4+\sqrt7}6$ , $\displaystyle m=\frac{4-\sqrt7}6$ 근과 계수의 관계에 의하여 $\displaystyle mM^2+Mm^2=mM(m+M)=\frac3{12}\times\frac{16}{12}=\frac13$ 이다.

(참고로 $\displaystyle M=\frac{4+\sqrt7}6$ , $\displaystyle m=\frac{4-\sqrt7}6$ )

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 1~2점의 부분 점수를 부여할 수 있음.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 –0.5~+0.5점을 부여할 수 있음.

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자연계열 III 3-2번

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