자연계열 III 3번

$\displaystyle \mathrm{A}\left(t,t+\frac1{2(t+1)^2}\right)$일 때, 역함수의 성질에 의하여 $\displaystyle \mathrm{B}\left(t+\frac1{2(t+1)^2},t\right)$이다. 점 $\displaystyle \mathrm{A}$를 지나고 기울기가 $\displaystyle -1$인 직선의 방정식은 $\displaystyle x-t+y-\left(t+\frac1{2(t+1)^2}\right)=0$이므로 원점에서 거리는 $\displaystyle \frac1{\sqrt2}\left(2t+\frac1{2(t+1)^2}\right)$이고 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$의 길이는 $\displaystyle \frac1{\sqrt2(t+1)^2}$이다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$의 넓이를 $\displaystyle h(t)$라 하면 $\displaystyle h(t)=\frac14\left(2t+\frac1{2(t+1)^2}\right)\frac1{(t+1)^2}$이다.

$\displaystyle t$에 대하여 미분하면 $\displaystyle h^{\prime}(t)=\frac1{2(t+1)^5}(-t^3-t^2+t)$을 얻고 $\displaystyle t=\frac{\sqrt5-1}2$에서 최댓값을 갖는다.

이때, 점 $\displaystyle \mathrm{A}$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt5-1}2,\frac{\sqrt5+1}4\right)$이다.

$\displaystyle \mathrm{P}(a,b)$라 하자. 조건 (가)에서 $\displaystyle (a-2)^2+b^2=1$이 나온다.

조건 (나)에서 $\displaystyle x+y=\frac{b-2}b$와 $\displaystyle a(x+y)-x-3y=a$가 나오고 정리하면 $\displaystyle x+y=\frac{b-2}b$와 $\displaystyle x+3y=-\frac{2a}b$이다. 따라서 $\displaystyle \frac{x+y}{x+3y}=\frac{2-b}{2a}$이다.

$\displaystyle \frac{2-b}{2a}=k$로 놓으면 $\displaystyle b=-2ka+2$이고 이것은 $\displaystyle (0,2)$를 지나고 기울기 $\displaystyle -2k$인 직선의 방정식이다. $\displaystyle k$가 최대, 최소가 되는 것은 원 $\displaystyle (a-2)^2+b^2=1$에 접할 때이다. $\displaystyle (2,0)$에서 직선에 이르는 거리는 $\displaystyle \frac{|4k-2|}{\sqrt{4k^2+1}}=1$이고 정리하면 $\displaystyle 12k^2-16k+3=0$이다. $\displaystyle M=\frac{4+\sqrt7}6$, $\displaystyle m=\frac{4-\sqrt7}6$ 근과 계수의 관계에 의하여 $\displaystyle mM^2+Mm^2=mM(m+M)=\frac3{12}\times\frac{16}{12}=\frac13$이다.