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자연계열 III 2번

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중앙대 2022학년도 수시 자연계열 III 2번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/cau/2022su/jayeon3_2

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문제

[문제 2] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 x=a\displaystyle x=a에서의 미분계수는 f′(a)=lim⁡Δx→0f(a+Δx)−f(a)Δx\displaystyle f^{\prime}(a)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}이다.

● 미분가능한 두 함수 y=f(u)\displaystyle y=f(u), u=g(x)\displaystyle u=g(x)에 대하여 합성함수 y=f(g(x))\displaystyle y=f(g(x))의 도함수는 {f(g(x))}′=f′(g(x))g′(x)\displaystyle \{f(g(x))\}^{\prime}=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)이다.

● 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 임의의 실수 a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c를 포함하는 닫힌구간에서 연속일 때, 다음 식이 성립한다.∫acf(x)dx=∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx\displaystyle \int_a^c f(x)dx=\int_a^b f(x)dx+\int_b^c f(x)dx

● lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞bn=L\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=L (L\displaystyle L은 실수)이고 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 an≤cn≤bn\displaystyle a_n\le c_n\le b_n이면 lim⁡n→∞cn=L\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=L이다.

[문제 2-1] 미분가능한 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 모든 자연수 k\displaystyle k에 대하여lim⁡x→kf(x)−kx−k=f(k)f(k)\displaystyle \lim_{x\to k}\frac{f(x)-k}{x-k}=f(k)\sqrt{f(k)} (단, f(x)≥0\displaystyle f(x)\ge0)을 만족한다. g(x)=f(f(x))\displaystyle g(x)=f(f(x))라 할 때, ∑n=120g′(n)\displaystyle \sum_{n=1}^{20}g^{\prime}(n)의 값을 구하시오. [10점]

[문제 2-2] 자연수 n\displaystyle n에 대하여 In\displaystyle I_n을In=∫0nπ{∣sin⁡x∣cos⁡2x+sin⁡5(2x)cos⁡x}dx\displaystyle I_n=\int_0^{n\pi}\{|\sin x|\cos^2x+\sin^5(2x)\cos x\}dx라 정의할 때, 극한 lim⁡n→∞Inn\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{I_n}{n}의 값을 구하시오. [15점]

중앙대 2022학년도 수시 자연계열 III 2번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/cau/2022su/jayeon3_2

[문제 2-1]

+3점 · 극한이 존재한다는 것으로부터 f(k)=k\displaystyle f(k)=k를 얻으면

lim⁡x→kf(x)−kx−k\displaystyle \lim_{x\to k}\frac{f(x)-k}{x-k}가 극한이 존재하기 위해서는 f(k)=k\displaystyle f(k)=k이어야 한다.

+3점 · 미분의 정의로부터 f′(k)=k32\displaystyle f^{\prime}(k)=k^{\frac32}를 얻으면

또한 미분의 정의에 의해 f′(k)=f(k)f(k)=k32\displaystyle f^{\prime}(k)=f(k)\sqrt{f(k)}=k^{\frac32}이므로,

+2점 · 합성함수의 미분법으로부터 g′(n)=n3\displaystyle g^{\prime}(n)=n^3를 얻으면

합성함수 미분법에 의해g′(n)=f′(f(n))f′(n)=(f′(n))2=n3\displaystyle g^{\prime}(n)=f^{\prime}(f(n))f^{\prime}(n)=(f^{\prime}(n))^2=n^3이다.

+2점 · 합을 계산하여 정답을 얻으면

따라서∑n=120g′(n)=∑n=120n3=(20⋅212)2=44100\displaystyle \sum_{n=1}^{20}g^{\prime}(n)=\sum_{n=1}^{20}n^3=\left(\frac{20\cdot21}2\right)^2=44100

[문제 2-2]

+3점 · 구간을 π\displaystyle \pi간격으로 나누어 합으로 표현하면

우선 적분 구간을 나누어In=∑k=0n−1∫kπ(k+1)π{∣sin⁡x∣cos⁡2x+sin⁡5(2x)cos⁡x}dx\displaystyle I_n=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\{|\sin x|\cos^2x+\sin^5(2x)\cos x\}dx로 표현한다.

+3점 · 치환적분을 하여 구간 0≤u≤π\displaystyle 0\le u\le\pi에서의 적분의 합으로 식을 표현하면

각 적분에 치환적분(u=x−kπ\displaystyle u=x-k\pi)을 한 후, 삼각함수의 성질을 이용하여∫kπ(k+1)π{∣sin⁡x∣cos⁡2x+sin⁡5(2x)cos⁡x}dx=∫0π{∣sin⁡(u+kπ)∣cos⁡2(u+kπ)+sin⁡5(2(u+kπ))cos⁡(u+kπ)}du=∫0π{sin⁡ucos⁡2u+sin⁡5(2u)(−1)kcos⁡u}du\displaystyle \begin{aligned}&\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\{|\sin x|\cos^2x+\sin^5(2x)\cos x\}dx\\&=\int_0^\pi\{|\sin(u+k\pi)|\cos^2(u+k\pi)+\sin^5(2(u+k\pi))\cos(u+k\pi)\}du\\&=\int_0^\pi\{\sin u\cos^2u+\sin^5(2u)(-1)^k\cos u\}du\end{aligned}를 얻는다.

+3점 · ∫0πsin⁡ucos⁡2u du=23\displaystyle \int_0^\pi\sin u\cos^2u\,du=\frac23를 얻으면

치환적분(t=cos⁡u\displaystyle t=\cos u)에 의해 ∫0πsin⁡ucos⁡2u du=23\displaystyle \int_0^\pi\sin u\cos^2u\,du=\frac23이므로Inn=1n∑k=0n−1{23+(−1)k∫0πsin⁡5(2u)cos⁡u du}=23+1n{∑k=0n−1(−1)k}∫0πsin⁡5(2u)cos⁡u du\displaystyle \frac{I_n}n=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\left\{\frac23+(-1)^k\int_0^\pi\sin^5(2u)\cos u\,du\right\}=\frac23+\frac1n\left\{\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\right\}\int_0^\pi\sin^5(2u)\cos u\,du이다.

+3점 · 1n{∑k=0n−1(−1)k}∫0πsin⁡5(2u)cos⁡u du\displaystyle \frac1n\left\{\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\right\}\int_0^\pi\sin^5(2u)\cos u\,du의 극한이 0임을 구하면

그런데 0≤1n∑k=0n−1(−1)k≤1n\displaystyle 0\le\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\le\frac1n (여기서 ∑k=0n−1(−1)k\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k는 0 또는 1을 이용하였다.)이므로

+3점 · 최종적으로 정답 23\displaystyle \frac23을 얻으면

Inn\displaystyle \frac{I_n}n의 극한은 23\displaystyle \frac23이다.

Q. 직접 계산하면?A. x=kπ+u  (k=0,1,…,n−1)\displaystyle x=k\pi+u\;(k=0,1,\ldots,n-1)로 구간을 나누면 sin⁡(2(kπ+u))=sin⁡2u\displaystyle \sin(2(k\pi+u))=\sin 2u, cos⁡(kπ+u)=(−1)kcos⁡u\displaystyle \cos(k\pi+u)=(-1)^k\cos u이므로Jn=∑k=0n−1(−1)k∫0πsin⁡5(2u)cos⁡u du\displaystyle J_n=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\int_0^\pi\sin^5(2u)\cos u\,du이다.sin⁡(2u)=2sin⁡ucos⁡u\displaystyle \sin(2u)=2\sin u\cos u를 쓰면∫0πsin⁡5(2u)cos⁡u du=32∫0πsin⁡5ucos⁡6u du=64∫0π/2sin⁡5ucos⁡6u du\displaystyle \int_0^\pi\sin^5(2u)\cos u\,du=32\int_0^\pi\sin^5u\cos^6u\,du=64\int_0^{\pi/2}\sin^5u\cos^6u\,du이다. t=cos⁡u\displaystyle t=\cos u로 치환하면∫0π/2sin⁡5ucos⁡6u du=∫01(1−t2)2t6 dt=17−29+111=8693\displaystyle \int_0^{\pi/2}\sin^5u\cos^6u\,du=\int_0^1(1-t^2)^2t^6\,dt=\frac17-\frac29+\frac1{11}=\frac8{693}이므로∫0πsin⁡5(2u)cos⁡u du=512693\displaystyle \int_0^\pi\sin^5(2u)\cos u\,du=\frac{512}{693}이다. 따라서Jn=512693∑k=0n−1(−1)k=256693(1−(−1)n)={0(n이 짝수)512693(n이 홀수)\displaystyle J_n=\frac{512}{693}\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k=\frac{256}{693}(1-(-1)^n)=\begin{cases}0&(n\text{이 짝수})\\\frac{512}{693}&(n\text{이 홀수})\end{cases}이다.

(채점위원 대상 코멘트: 학생들이 ∫0nπsin⁡5(2x)cos⁡x dx\displaystyle \int_0^{n\pi}\sin^5(2x)\cos x\,dx를 직접 계산하여 답을 구하려고 하는 경우가 있는데, 이 적분은 n\displaystyle n이 짝수인 경우 0이고 홀수인 경우 512693\displaystyle \frac{512}{693}입니다. 많은 학생들이 이 적분을 근거 없이 0이라 하였는데 이 경우는 답이 맞더라도 최대 10=3+3+3+1\displaystyle 10=3+3+3+1점만 부여합니다.)

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 1~2점의 부분 점수를 부여할 수 있음.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 –0.5~+0.5점을 부여할 수 있음.

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