자연계열 III 2번

$\displaystyle \lim_{x\to k}\frac{f(x)-k}{x-k}$가 극한이 존재하기 위해서는 $\displaystyle f(k)=k$이어야 한다.

또한 미분의 정의에 의해 $\displaystyle f^{\prime}(k)=f(k)\sqrt{f(k)}=k^{\frac32}$이므로,

합성함수 미분법에 의해$\displaystyle g^{\prime}(n)=f^{\prime}(f(n))f^{\prime}(n)=(f^{\prime}(n))^2=n^3$이다.

따라서$\displaystyle \sum_{n=1}^{20}g^{\prime}(n)=\sum_{n=1}^{20}n^3=\left(\frac{20\cdot21}2\right)^2=44100$

우선 적분 구간을 나누어$\displaystyle I_n=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\{|\sin x|\cos^2x+\sin^5(2x)\cos x\}dx$로 표현한다.

각 적분에 치환적분($\displaystyle u=x-k\pi$)을 한 후, 삼각함수의 성질을 이용하여$\displaystyle \begin{aligned}&\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\{|\sin x|\cos^2x+\sin^5(2x)\cos x\}dx\\&=\int_0^\pi\{|\sin(u+k\pi)|\cos^2(u+k\pi)+\sin^5(2(u+k\pi))\cos(u+k\pi)\}du\\&=\int_0^\pi\{\sin u\cos^2u+\sin^5(2u)(-1)^k\cos u\}du\end{aligned}$를 얻는다.

치환적분($\displaystyle t=\cos u$)에 의해 $\displaystyle \int_0^\pi\sin u\cos^2u\,du=\frac23$이므로$\displaystyle \frac{I_n}n=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\left\{\frac23+(-1)^k\int_0^\pi\sin^5(2u)\cos u\,du\right\}=\frac23+\frac1n\left\{\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\right\}\int_0^\pi\sin^5(2u)\cos u\,du$이다.

그런데 $\displaystyle 0\le\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\le\frac1n$ (여기서 $\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k$는 0 또는 1을 이용하였다.)이므로

$\displaystyle \frac{I_n}n$의 극한은 $\displaystyle \frac23$이다.