경영경제계열 I 3번

예를 들어, 첫 번째 시행에서 1번 공, 두 번째 시행에서 2번 공을 뽑는다고 하면, 발생할 확률은 $\displaystyle \frac14\times\frac23=\frac16$이다. 그때 얻을 수 있는 최종 점수는 다음과 같이 두 개의 삼각형을 통해서 계산할 수 있다.

- 이등변삼각형의 넓이 $\displaystyle =\frac12\times1\times1\times\sin30^\circ=\frac14$

- 정삼각형의 넓이 $\displaystyle =\frac12\times1\times1\times\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}4$

● 따라서 이때 게임의 점수는 $\displaystyle \frac14+\frac{\sqrt3}4=\frac{1+\sqrt3}4$이 된다.

● 같은 방식으로 참가자가 얻을 수 있는 최종 점수의 모든 경우와 그 확률은 다음과 같이 요약할 수 있다.

$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c}\text{첫 번째 시행}&\text{두 번째 시행}&\text{확률}&\text{최종 점수}\\\hline 1&2&\frac14\times\frac23=\frac16&\frac{1+\sqrt3}4\\1&6&\frac14\times\frac13=\frac1{12}&\frac14+\pi\\2&1&\frac12\times\frac13=\frac16&\frac{1+\sqrt3}4\\2&2&\frac12\times\frac13=\frac16&\frac{\sqrt3}4+\frac{\sqrt3}4=\frac{\sqrt3}2\\2&6&\frac12\times\frac13=\frac16&\frac{\sqrt3}4+\pi\\6&1&\frac14\times\frac13=\frac1{12}&\frac14+\pi\\6&2&\frac14\times\frac23=\frac16&\frac{\sqrt3}4+\pi\end{array}$

● 또는 다음과 같이 정리하여 기댓값을 계산할 수 있다.

$\displaystyle \begin{array}{c|c|c}\text{시행 결과}&\text{최종 점수}&\text{발생 확률}\\\hline (1,2),\;(2,1)&\frac{1+\sqrt3}4&\frac16+\frac16=\frac13\\(1,6),\;(6,1)&\frac14+\pi&\frac1{12}+\frac1{12}=\frac16\\(2,2)&\frac{\sqrt3}2&\frac16\\(2,6),\;(6,2)&\frac{\sqrt3}4+\pi&\frac16+\frac16=\frac13\end{array}$

● 참가자가 이 게임에 참여하여 얻을 수 있는 최종 점수의 기댓값은 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}\text{기댓값}&=\frac{1+\sqrt3}4\times\frac13+\left(\frac14+\pi\right)\times\frac16+\frac{\sqrt3}2\times\frac16+\left(\frac{\sqrt3}4+\pi\right)\times\frac13\\&=\frac18+\frac{\sqrt3}4+\frac\pi2\end{aligned}$