중앙대 2022학년도 수시 경영경제계열 I 3번 해설

다음 상황에 기초하여 문제에 답하시오.

주머니에서 공을 꺼내서 말을 옮기는 게임을 고려하자.

● 주머니에는 숫자 1이 적혀 있는 공 1개, 숫자 2가 적혀 있는 공 2개, 숫자 6이 적혀 있는 공 1개가 들어 있다.

● 아래 그림과 같이 반지름이 1인 원의 둘레를 12등분하는 12개의 점으로 구성된 게임판이 있다. 게임의 첫 출발점은 A이다.

● 게임의 규칙은 다음과 같다.

① 주머니에서 임의로 하나의 공을 뽑은 후 공에 적혀 있는 숫자만큼 시계 반대 방향으로 말을 옮긴다. 예를 들어, 2가 적혀 있는 공을 뽑으면 말을 점 A에서 점 B로 옮긴다.(단, 한 번 뽑은 공은 주머니에 다시 넣지 않는다.)

② 이때 얻을 수 있는 점수는 출발점, 도착점 그리고 원의 중심 O를 연결하여 만들어지는 삼각형의 넓이와 같다.(단, 세 점이 한 직선상에 있는 경우에 얻을 수 있는 점수는 원의 넓이와 같다.)

● 참가자는 위의 시행을 연속하여 2회 진행한다. 두 번째 시행은 첫 번째 시행 후 주머니에 남아 있는 공을 사용하며, 두 번째 시행의 출발점은 첫 번째 시행의 도착점이다.

● 게임의 최종 점수는 각 시행에서 얻은 점수의 합이다.

[문제 3] 한 참가자가 이 게임에 참여하여 얻을 수 있는 최종 점수의 기댓값을 구하시오. [20점, 원고지 작성법을 준수할 필요 없음]

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+7점 · 두 번의 시행에서 나올 수 있는 모든 경우와 발생확률을 올바르게 계산한 경우

한 참가자가 게임에 참여하여 얻을 수 있는 최종 점수와 발생할 확률은 다음과 같은 방식으로 계산할 수 있다.

예를 들어, 첫 번째 시행에서 1번 공, 두 번째 시행에서 2번 공을 뽑는다고 하면, 발생할 확률은 $\displaystyle \frac14\times\frac23=\frac16$ 이다. 그때 얻을 수 있는 최종 점수는 다음과 같이 두 개의 삼각형을 통해서 계산할 수 있다.

+8점 · 두 번의 시행에서 얻을 수 있는 모든 점수를 올바르게 계산한 경우

● 즉, 두 변의 길이가 1이고 꼭지각이 30도인 이등변삼각형과 한 변의 길이가 1인 정삼각형의 넓이는 삼각형의 넓이 공식을 통해서 다음과 같이 계산된다.

- 이등변삼각형의 넓이 $\displaystyle =\frac12\times1\times1\times\sin30^\circ=\frac14$

- 정삼각형의 넓이 $\displaystyle =\frac12\times1\times1\times\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}4$

● 따라서 이때 게임의 점수는 $\displaystyle \frac14+\frac{\sqrt3}4=\frac{1+\sqrt3}4$ 이 된다.

● 같은 방식으로 참가자가 얻을 수 있는 최종 점수의 모든 경우와 그 확률은 다음과 같이 요약할 수 있다.

$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c}\text{첫 번째 시행}&\text{두 번째 시행}&\text{확률}&\text{최종 점수}\\\hline 1&2&\frac14\times\frac23=\frac16&\frac{1+\sqrt3}4\\1&6&\frac14\times\frac13=\frac1{12}&\frac14+\pi\\2&1&\frac12\times\frac13=\frac16&\frac{1+\sqrt3}4\\2&2&\frac12\times\frac13=\frac16&\frac{\sqrt3}4+\frac{\sqrt3}4=\frac{\sqrt3}2\\2&6&\frac12\times\frac13=\frac16&\frac{\sqrt3}4+\pi\\6&1&\frac14\times\frac13=\frac1{12}&\frac14+\pi\\6&2&\frac14\times\frac23=\frac16&\frac{\sqrt3}4+\pi\end{array}$

+5점 · 점수의 기댓값을 올바르게 계산한 경우

● 참가자가 이 게임에 참여하여 얻을 수 있는 최종 점수의 기댓값은 다음과 같다. $\displaystyle \begin{aligned}\text{기댓값}&=\frac{1+\sqrt3}4\times\frac16\times2+\left(\frac14+\pi\right)\times\frac1{12}\times2+\frac{\sqrt3}2\times\frac16+\left(\frac{\sqrt3}4+\pi\right)\times\frac16\times2\\&=\frac18+\frac{\sqrt3}4+\frac\pi2\end{aligned}$

● 또는 다음과 같이 정리하여 기댓값을 계산할 수 있다.

$\displaystyle \begin{array}{c|c|c}\text{시행 결과}&\text{최종 점수}&\text{발생 확률}\\\hline (1,2),\;(2,1)&\frac{1+\sqrt3}4&\frac16+\frac16=\frac13\\(1,6),\;(6,1)&\frac14+\pi&\frac1{12}+\frac1{12}=\frac16\\(2,2)&\frac{\sqrt3}2&\frac16\\(2,6),\;(6,2)&\frac{\sqrt3}4+\pi&\frac16+\frac16=\frac13\end{array}$

● 참가자가 이 게임에 참여하여 얻을 수 있는 최종 점수의 기댓값은 다음과 같다. $\displaystyle \begin{aligned}\text{기댓값}&=\frac{1+\sqrt3}4\times\frac13+\left(\frac14+\pi\right)\times\frac16+\frac{\sqrt3}2\times\frac16+\left(\frac{\sqrt3}4+\pi\right)\times\frac13\\&=\frac18+\frac{\sqrt3}4+\frac\pi2\end{aligned}$

※ 계산 실수로 틀렸어도 논리 전개 과정이 맞으면 해당 부분에 1~3점의 부분 점수를 부여함

※ 각 부분에서 바르게 답안을 작성한 경우에도 답안의 완성도에 따라 총점 20점 이내에서 ±1점 추가 점수 부여 가능함

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경영경제계열 I 3번

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