중앙대 2023학년도 모의 자연계열 2-1번 해설

[문제 2] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 양수 $\displaystyle M$ , $\displaystyle N$ 에 대하여 $\displaystyle \ln(MN)=\ln M+\ln N$ 이 성립한다.

● 첫째항이 $\displaystyle a$ 이고 공차가 $\displaystyle d$ 인 등차수열의 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합은 $\displaystyle \frac{n\{2a+(n-1)d\}}2$ 이다.

● 등비급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}$ $\displaystyle (a\ne0)$ 은 $\displaystyle |r|<1$ 일 때 수렴하고 그 합은 $\displaystyle \frac a{1-r}$ 이다.

● 미분가능한 함수 $\displaystyle g(x)$ 의 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 를 포함하는 열린구간에서 연속이고, $\displaystyle g(a)=\alpha$ , $\displaystyle g(b)=\beta$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \beta$ 를 양끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다. $\displaystyle \int_a^bf(g(x))g^{\prime}(x)dx=\int_\alpha^\beta f(t)dt$ Comment. 치환적분 공식의 연속성 조건은 $\displaystyle g([a,b])$ 전체를 대상으로 해야 한다. $\displaystyle g$ 가 중간에 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \beta$ 사이를 벗어날 수 있으므로, 두 끝값 사이에서의 연속성만으로는 충분하지 않다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

● 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 다음 식이 성립한다. $\displaystyle \sin\left(\frac\pi2-x\right)=\cos x,\ \sin^2x+\cos^2x=1$

[문제 2-1] 첫째항부터 제5항까지의 합이 45, 첫째항부터 제10항까지의 합이 140인 등차수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 에 대하여 다음 급수의 합을 구하시오. [10점] $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2^n}\ln\left\{\frac{3(a_n)^2}{a_n+2}\right\}$

중앙대 2023학년도 모의 자연계열 2-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2023mo/jayeon_2_1

[문제 2-1]

+2점 · 등차수열의 일반항

\displaystyle a_n=2n+3

를 얻으면 +3점 · 로그함수의 성질을 이용하여 급수를 적절히 분해하면

등차수열의 합에 대한 공식과 문제에 주어진 조건으로부터 등차수열의 일반항 $\displaystyle a_n=2n+3$ 을 구한다. 이를 급수에 대입하고 로그함수의 성질을 이용하여 식을 다음과 같이 정리한다. $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2^n}\ln\left\{\frac{3(2n+3)^2}{2n+5}\right\}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln3}{2^n}+\sum_{n=1}^{\infty}\left\{\frac{\ln(2n+3)}{2^{n-1}}-\frac{\ln(2n+5)}{2^n}\right\}$

+5점 · 첫 번째 등비급수의 합(+1)과 두 번째 급수의 합(+3)을 구한 후 정답을 얻으면

첫 번째 급수에 대해서는 등비급수의 합 공식을 이용하여 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln3}{2^n}=\ln3$ 를 얻고, 두 번째 급수에 대해서는 제 $\displaystyle N$ 항까지의 합을 구한 후 $\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^N\left\{\frac{\ln(2n+3)}{2^{n-1}}-\frac{\ln(2n+5)}{2^n}\right\}&=\left\{\ln5-\frac{\ln7}2\right\}+\left\{\frac{\ln7}2-\frac{\ln9}{2^2}\right\}+\cdots+\left\{\frac{\ln(2N+3)}{2^{N-1}}-\frac{\ln(2N+5)}{2^N}\right\}\\&=\ln5-\frac{\ln(2N+5)}{2^N}\end{aligned}$ 극한 $\displaystyle N\to\infty$ 를 취하여 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\left\{\frac{\ln(2n+3)}{2^{n-1}}-\frac{\ln(2n+5)}{2^n}\right\}=\ln5$ 를 얻는다.Correction. 급수의 시작 첨자 $\displaystyle n=2$ 는 $\displaystyle n=1$ 의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.최종적으로 두 급수의 합을 더하여 정답 $\displaystyle \ln3+\ln5=\ln(15)$ 을 얻는다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 1~2점의 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 –0.5~+0.5점을 부여할 수 있습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.

자연계열 2-1번

문제

첨삭 사례

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개