자연계열 2번

등차수열의 합에 대한 공식과 문제에 주어진 조건으로부터 등차수열의 일반항 $\displaystyle a_n=2n+3$을 구한다. 이를 급수에 대입하고 로그함수의 성질을 이용하여 식을 다음과 같이 정리한다.$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2^n}\ln\left\{\frac{3(2n+3)^2}{2n+5}\right\}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln3}{2^n}+\sum_{n=1}^{\infty}\left\{\frac{\ln(2n+3)}{2^{n-1}}-\frac{\ln(2n+5)}{2^n}\right\}$

첫 번째 급수에 대해서는 등비급수의 합 공식을 이용하여 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln3}{2^n}=\ln3$를 얻고, 두 번째 급수에 대해서는 제$\displaystyle N$항까지의 합을 구한 후$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^N\left\{\frac{\ln(2n+3)}{2^{n-1}}-\frac{\ln(2n+5)}{2^n}\right\}&=\left\{\ln5-\frac{\ln7}2\right\}+\left\{\frac{\ln7}2-\frac{\ln9}{2^2}\right\}+\cdots+\left\{\frac{\ln(2N+3)}{2^{N-1}}-\frac{\ln(2N+5)}{2^N}\right\}\\&=\ln5-\frac{\ln(2N+5)}{2^N}\end{aligned}$극한 $\displaystyle N\to\infty$를 취하여 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\left\{\frac{\ln(2n+3)}{2^{n-1}}-\frac{\ln(2n+5)}{2^n}\right\}=\ln5$를 얻는다.Correction. 급수의 시작 첨자 $\displaystyle n=2$는 $\displaystyle n=1$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.최종적으로 두 급수의 합을 더하여 정답 $\displaystyle \ln3+\ln5=\ln(15)$을 얻는다.

$\displaystyle t=\frac\pi2-x$로 치환하여 정적분을 다음과 같이 정리한다.$\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}(2x^2-\pi x+\pi^2)\sin^2x\,dx=\int_0^{\frac\pi2}\left\{2\left(\frac\pi2-x\right)^2-\pi\left(\frac\pi2-x\right)+\pi^2\right\}\sin^2\left(\frac\pi2-x\right)dx$여기서 삼각함수의 성질에 의해 $\displaystyle \sin\left(\frac\pi2-x\right)=\cos x$이고 다항식을 전개하면$\displaystyle 2\left(\frac\pi2-x\right)^2-\pi\left(\frac\pi2-x\right)+\pi^2=2x^2-\pi x+\pi^2$이므로$\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}(2x^2-\pi x+\pi^2)\sin^2x\,dx=\int_0^{\frac\pi2}(2x^2-\pi x+\pi^2)\cos^2x\,dx$이다.

따라서 제시문에 주어진 삼각함수의 성질에 의해$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{\frac\pi2}(2x^2-\pi x+\pi^2)\sin^2x\,dx&=\frac12\int_0^{\frac\pi2}(2x^2-\pi x+\pi^2)(\cos^2x+\sin^2x)dx\\&=\frac12\int_0^{\frac\pi2}(2x^2-\pi x+\pi^2)dx\end{aligned}$가 성립한다.

마지막으로 적분을 계산하여 정답 $\displaystyle \frac{11\pi^3}{48}$을 얻는다.