자연계열 1번

▶ $\displaystyle \log_a b=X$라고 두면▶ $\displaystyle \begin{aligned}&-48+44\log_a(ab)-12(\log_a(ab))^2+(\log_a(ab))^3\\&=-48+44(1+\log_a b)-12(1+\log_a b)^2+(1+\log_a b)^3\\&=X^3-9X^2+23X-15\\&=(X-1)(X-3)(X-5)\end{aligned}$

로 정리되어, $\displaystyle (X-1)(X-3)(X-5)>0$을 만족하는 경우는 $\displaystyle 1<X<3$ 또는 $\displaystyle X>5$이다.

▶ $\displaystyle 1\le\log_a b\le5$이므로, $\displaystyle X>5$는 불가능하며, $\displaystyle 1<X<3$의 경우는 아래와 같이 정리된다.$\displaystyle 1<X<3\Leftrightarrow1<\log_a b<3\Leftrightarrow\log_a a<\log_a b<\log_a a^3\Leftrightarrow a<b<a^3$이며,$\displaystyle a=2$인 경우는, $\displaystyle 4\le b<8$이므로, 4개$\displaystyle a=3$인 경우는, $\displaystyle 3<b<27$이므로, 23개$\displaystyle a=4$인 경우는, $\displaystyle 4<b\le32$이므로, 28개

▶ 따라서, 가능한 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$의 개수는 $\displaystyle 4+23+28=55$개이다.