중앙대 2023학년도 수시 자연계열 1교시 2-1번 해설

[문제 2] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 두 함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 가 미분가능할 때 $\displaystyle \{f(x)g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)$ 이다.

● 미분가능한 두 함수 $\displaystyle y=f(u)$ , $\displaystyle u=g(x)$ 에 대하여 합성함수 $\displaystyle y=f(g(x))$ 의 도함수는 $\displaystyle \{f(g(x))\}^{\prime}=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$ 이다.

● 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 임의의 세 실수 $\displaystyle a,b,c$ 를 포함하는 열린구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다. $\displaystyle \int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx=\int_a^b f(x)dx$

● 미분가능한 함수 $\displaystyle g(x)$ 의 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 를 포함하는 열린구간에서 연속이고, $\displaystyle g(a)=\alpha$ , $\displaystyle g(b)=\beta$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \beta$ 를 양끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다. $\displaystyle \int_a^b f(g(x))g^{\prime}(x)dx=\int_\alpha^\beta f(t)dt$ Comment. 치환적분 공식의 연속성 조건은 $\displaystyle g([a,b])$ 전체를 대상으로 해야 한다. $\displaystyle g$ 가 중간에 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \beta$ 사이를 벗어날 수 있으므로, 두 끝값 사이에서의 연속성만으로는 충분하지 않다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[문제 2-1] 양의 실수 $\displaystyle α$ 에 대하여, 곡선 $\displaystyle y=\sqrt[3]{\alpha+\frac{x}{1\cdot2\cdot3}}\cdot\sqrt[3]{\left(\alpha+\frac{x}{2\cdot3\cdot4}\right)^2}\cdot\left(\alpha+\frac{x}{3\cdot4\cdot5}\right)$ 위의 점 $\displaystyle (0,\alpha^2)$ 에서의 접선이 점 $\displaystyle (5,1)$ 을 지난다고 할 때, $\displaystyle \alpha$ 의 값을 구하시오. [10점]

중앙대 2023학년도 수시 자연계열 1교시 2-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2023su/jayeongyo1_2_1

[문제 2-1]

+6점 · 미분하여

\displaystyle y^{\prime}(0)=\frac\alpha{10}

를 구하면

주어진 함수를 미분하면, $\displaystyle \begin{aligned}y^{\prime}&=\frac13\cdot\frac1{1\cdot2\cdot3}\left(\alpha+\frac{x}{1\cdot2\cdot3}\right)^{-\frac23}\left(\alpha+\frac{x}{2\cdot3\cdot4}\right)^{\frac23}\left(\alpha+\frac{x}{3\cdot4\cdot5}\right)\\&\quad+\left(\alpha+\frac{x}{1\cdot2\cdot3}\right)^{\frac13}\cdot\frac23\cdot\frac1{2\cdot3\cdot4}\left(\alpha+\frac{x}{2\cdot3\cdot4}\right)^{-\frac13}\left(\alpha+\frac{x}{3\cdot4\cdot5}\right)\\&\quad+\left(\alpha+\frac{x}{1\cdot2\cdot3}\right)^{\frac13}\left(\alpha+\frac{x}{2\cdot3\cdot4}\right)^{\frac23}\frac1{3\cdot4\cdot5}\end{aligned}$ 이므로 $\displaystyle y^{\prime}(0)=\frac\alpha3\left(\frac1{2\cdot3}+\frac1{3\cdot4}+\frac1{4\cdot5}\right)=\frac\alpha3\left(\frac12-\frac13+\frac13-\frac14+\frac14-\frac15\right)=\frac\alpha{10}$ 이다.

+4점 ·

\displaystyle \alpha

에 대한 방정식을 풀어 답을 구하면

따라서 $\displaystyle (0,\alpha^2)$ 에서의 접선은 $\displaystyle y=\frac\alpha{10}x+\alpha^2$ 이다. 이 직선이 $\displaystyle (5,1)$ 을 지나기 위해서는 $\displaystyle \alpha^2+\frac\alpha2-1=0$ 을 만족해야 하므로 $\displaystyle \alpha=\frac{-1+\sqrt{17}}4$ 이다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 ±1점을 부여할 수 있습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.

자연계열 1교시 2-1번

문제

첨삭 사례

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개