수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 1교시 2번

중앙대 2023학년도 수시 자연계열 1교시 2번 · mathesis.kr/archive/cau/2023su/jayeongyo1_2

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중앙대 2023학년도 수시 자연계열 1교시 2번 · mathesis.kr/archive/cau/2023su/jayeongyo1_2

[문제 2-1]

+6점 · 미분하여 y′(0)=α10\displaystyle y^{\prime}(0)=\frac\alpha{10}를 구하면

주어진 함수를 미분하면,y′=13⋅11⋅2⋅3(α+x1⋅2⋅3)−23(α+x2⋅3⋅4)23(α+x3⋅4⋅5)+(α+x1⋅2⋅3)13⋅23⋅12⋅3⋅4(α+x2⋅3⋅4)−13(α+x3⋅4⋅5)+(α+x1⋅2⋅3)13(α+x2⋅3⋅4)2313⋅4⋅5\displaystyle \begin{aligned}y^{\prime}&=\frac13\cdot\frac1{1\cdot2\cdot3}\left(\alpha+\frac{x}{1\cdot2\cdot3}\right)^{-\frac23}\left(\alpha+\frac{x}{2\cdot3\cdot4}\right)^{\frac23}\left(\alpha+\frac{x}{3\cdot4\cdot5}\right)\\&\quad+\left(\alpha+\frac{x}{1\cdot2\cdot3}\right)^{\frac13}\cdot\frac23\cdot\frac1{2\cdot3\cdot4}\left(\alpha+\frac{x}{2\cdot3\cdot4}\right)^{-\frac13}\left(\alpha+\frac{x}{3\cdot4\cdot5}\right)\\&\quad+\left(\alpha+\frac{x}{1\cdot2\cdot3}\right)^{\frac13}\left(\alpha+\frac{x}{2\cdot3\cdot4}\right)^{\frac23}\frac1{3\cdot4\cdot5}\end{aligned}이므로y′(0)=α3(12⋅3+13⋅4+14⋅5)=α3(12−13+13−14+14−15)=α10\displaystyle y^{\prime}(0)=\frac\alpha3\left(\frac1{2\cdot3}+\frac1{3\cdot4}+\frac1{4\cdot5}\right)=\frac\alpha3\left(\frac12-\frac13+\frac13-\frac14+\frac14-\frac15\right)=\frac\alpha{10}이다.

+4점 · α\displaystyle \alpha에 대한 방정식을 풀어 답을 구하면

따라서 (0,α2)\displaystyle (0,\alpha^2)에서의 접선은 y=α10x+α2\displaystyle y=\frac\alpha{10}x+\alpha^2이다. 이 직선이 (5,1)\displaystyle (5,1)을 지나기 위해서는 α2+α2−1=0\displaystyle \alpha^2+\frac\alpha2-1=0을 만족해야 하므로 α=−1+174\displaystyle \alpha=\frac{-1+\sqrt{17}}4이다.

[문제 2-2]

+8점 · f(x)=−115{g(x)−2g(x+π2)+4g(x+π)−8g(x+3π2)}\displaystyle f(x)=-\frac1{15}\left\{g(x)-2g\left(x+\frac\pi2\right)+4g(x+\pi)-8g\left(x+\frac{3\pi}2\right)\right\}를 유도하면 (귀납적으로 식을 정리할 시도를 하면 4~5점 부여)

편의상 g(x)=15⋅∣sin⁡x∣2+cos⁡x\displaystyle g(x)=15\cdot\frac{|\sin x|}{2+\cos x}라 하자. 주어진 식 f(x)=g(x)−2f(x+π2)\displaystyle f(x)=g(x)-2f\left(x+\frac\pi2\right)를 반복해서 적용하면f(x)=g(x)−2f(x+π2)=g(x)−2g(x+π2)+4f(x+π)=g(x)−2g(x+π2)+4g(x+π)−8f(x+3π2)=g(x)−2g(x+π2)+4g(x+π)−8g(x+3π2)+16f(x+2π)\displaystyle \begin{aligned}f(x)&=g(x)-2f\left(x+\frac\pi2\right)=g(x)-2g\left(x+\frac\pi2\right)+4f(x+\pi)\\&=g(x)-2g\left(x+\frac\pi2\right)+4g(x+\pi)-8f\left(x+\frac{3\pi}2\right)\\&=g(x)-2g\left(x+\frac\pi2\right)+4g(x+\pi)-8g\left(x+\frac{3\pi}2\right)+16f(x+2\pi)\end{aligned}를 얻는다. 그런데 f(x)\displaystyle f(x)의 주기가 2π\displaystyle 2\pi이므로,f(x)=−115{g(x)−2g(x+π2)+4g(x+π)−8g(x+3π2)}\displaystyle f(x)=-\frac1{15}\left\{g(x)-2g\left(x+\frac\pi2\right)+4g(x+\pi)-8g\left(x+\frac{3\pi}2\right)\right\}이다. 따라서∫0πf(x)dx=−115{∫0πg(x)dx−2∫0πg(x+π2)dx+4∫0πg(x+π)dx−8∫0πg(x+3π2)dx}\displaystyle \int_0^\pi f(x)dx=-\frac1{15}\left\{\int_0^\pi g(x)dx-2\int_0^\pi g\left(x+\frac\pi2\right)dx+4\int_0^\pi g(x+\pi)dx-8\int_0^\pi g\left(x+\frac{3\pi}2\right)dx\right\}이다.

+5점 · ∫0πg(x+kπ4)dx  (k=0,1,2,3)\displaystyle \int_0^\pi g\left(x+\frac{k\pi}4\right)dx\;(k=0,1,2,3)의 값을 구하면 (치환적분을 일부지만 올바르게 수행하면 2~3점 부여)

Correction. 채점기준의 g(x+kπ4)\displaystyle g\left(x+\frac{k\pi}4\right)는 g(x+kπ2)\displaystyle g\left(x+\frac{k\pi}2\right)의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

우변의 첫 번째 적분은 u=2+cos⁡x\displaystyle u=2+\cos x로 치환하여 값을 구하고∫0πg(x)dx=15∫0πsin⁡x2+cos⁡xdx=−15∫311udu=15ln⁡3\displaystyle \int_0^\pi g(x)dx=15\int_0^\pi\frac{\sin x}{2+\cos x}dx=-15\int_3^1\frac1u du=15\ln3를 얻고, 두 번째 적분은 구간을 나눈 다음 u=2+cos⁡(x+π2)\displaystyle u=2+\cos\left(x+\frac\pi2\right)로 치환하여 값을 구한다.∫0πg(x+π2)dx=15∫0π2sin⁡(x+π2)2+cos⁡(x+π2)dx−15∫π2πsin⁡(x+π2)2+cos⁡(x+π2)dx=−15∫211udu+15∫121udu=30ln⁡2\displaystyle \begin{aligned}\int_0^\pi g\left(x+\frac\pi2\right)dx&=15\int_0^{\frac\pi2}\frac{\sin\left(x+\frac\pi2\right)}{2+\cos\left(x+\frac\pi2\right)}dx-15\int_{\frac\pi2}^\pi\frac{\sin\left(x+\frac\pi2\right)}{2+\cos\left(x+\frac\pi2\right)}dx\\&=-15\int_2^1\frac1u du+15\int_1^2\frac1u du=30\ln2\end{aligned}

같은 방식으로 세 번째, 네 번째 적분도 값을 구할 수 있다.∫0πg(x+π)dx=−15∫0πsin⁡(x+π)2+cos⁡(x+π)dx=15∫131udu=15ln⁡3,\displaystyle \int_0^\pi g(x+\pi)dx=-15\int_0^\pi\frac{\sin(x+\pi)}{2+\cos(x+\pi)}dx=15\int_1^3\frac1u du=15\ln3,∫0πg(x+3π2)dx=−15∫0π2sin⁡(x+3π2)2+cos⁡(x+3π2)dx+15∫π2πsin⁡(x+3π2)2+cos⁡(x+3π2)dx=−15∫231udu+15∫321udu=30(ln⁡3−ln⁡2).\displaystyle \begin{aligned}\int_0^\pi g\left(x+\frac{3\pi}2\right)dx&=-15\int_0^{\frac\pi2}\frac{\sin\left(x+\frac{3\pi}2\right)}{2+\cos\left(x+\frac{3\pi}2\right)}dx+15\int_{\frac\pi2}^\pi\frac{\sin\left(x+\frac{3\pi}2\right)}{2+\cos\left(x+\frac{3\pi}2\right)}dx\\&=-15\int_2^3\frac1u du+15\int_3^2\frac1u du=30(\ln3-\ln2).\end{aligned}Correction. 치환적분한 두 항의 부호가 반대로 적혀 있다. 15∫23duu−15∫32duu\displaystyle 15\int_2^3\frac{du}{u}-15\int_3^2\frac{du}{u}가 맞다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+2점 · 합을 계산하여 정답을 얻으면

따라서∫0πf(x)dx=−ln⁡3+4ln⁡2−4ln⁡3+16(ln⁡3−ln⁡2)=11ln⁡3−12ln⁡2\displaystyle \int_0^\pi f(x)dx=-\ln3+4\ln2-4\ln3+16(\ln3-\ln2)=11\ln3-12\ln2이다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 ±1점을 부여할 수 있습니다.

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