중앙대 2023학년도 수시 자연계열 1교시 2-2번 해설

[문제 2] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 두 함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 가 미분가능할 때 $\displaystyle \{f(x)g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)$ 이다.

● 미분가능한 두 함수 $\displaystyle y=f(u)$ , $\displaystyle u=g(x)$ 에 대하여 합성함수 $\displaystyle y=f(g(x))$ 의 도함수는 $\displaystyle \{f(g(x))\}^{\prime}=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$ 이다.

● 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 임의의 세 실수 $\displaystyle a,b,c$ 를 포함하는 열린구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다. $\displaystyle \int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx=\int_a^b f(x)dx$

● 미분가능한 함수 $\displaystyle g(x)$ 의 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 를 포함하는 열린구간에서 연속이고, $\displaystyle g(a)=\alpha$ , $\displaystyle g(b)=\beta$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \beta$ 를 양끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다. $\displaystyle \int_a^b f(g(x))g^{\prime}(x)dx=\int_\alpha^\beta f(t)dt$ Comment. 치환적분 공식의 연속성 조건은 $\displaystyle g([a,b])$ 전체를 대상으로 해야 한다. $\displaystyle g$ 가 중간에 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \beta$ 사이를 벗어날 수 있으므로, 두 끝값 사이에서의 연속성만으로는 충분하지 않다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[문제 2-2] 주기가 $\displaystyle 2\pi$ 인 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f(x)+2f\left(x+\frac\pi2\right)=15\cdot\frac{|\sin x|}{2+\cos x}$ 을 만족할 때, 정적분 $\displaystyle \int_0^\pi f(x)dx$ 의 값을 구하시오. [15점]

중앙대 2023학년도 수시 자연계열 1교시 2-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2023su/jayeongyo1_2_2

[문제 2-2]

+8점 ·

\displaystyle f(x)=-\frac1{15}\left\{g(x)-2g\left(x+\frac\pi2\right)+4g(x+\pi)-8g\left(x+\frac{3\pi}2\right)\right\}

를 유도하면 (귀납적으로 식을 정리할 시도를 하면 4~5점 부여)

편의상 $\displaystyle g(x)=15\cdot\frac{|\sin x|}{2+\cos x}$ 라 하자. 주어진 식 $\displaystyle f(x)=g(x)-2f\left(x+\frac\pi2\right)$ 를 반복해서 적용하면 $\displaystyle \begin{aligned}f(x)&=g(x)-2f\left(x+\frac\pi2\right)=g(x)-2g\left(x+\frac\pi2\right)+4f(x+\pi)\\&=g(x)-2g\left(x+\frac\pi2\right)+4g(x+\pi)-8f\left(x+\frac{3\pi}2\right)\\&=g(x)-2g\left(x+\frac\pi2\right)+4g(x+\pi)-8g\left(x+\frac{3\pi}2\right)+16f(x+2\pi)\end{aligned}$ 를 얻는다. 그런데 $\displaystyle f(x)$ 의 주기가 $\displaystyle 2\pi$ 이므로, $\displaystyle f(x)=-\frac1{15}\left\{g(x)-2g\left(x+\frac\pi2\right)+4g(x+\pi)-8g\left(x+\frac{3\pi}2\right)\right\}$ 이다. 따라서 $\displaystyle \int_0^\pi f(x)dx=-\frac1{15}\left\{\int_0^\pi g(x)dx-2\int_0^\pi g\left(x+\frac\pi2\right)dx+4\int_0^\pi g(x+\pi)dx-8\int_0^\pi g\left(x+\frac{3\pi}2\right)dx\right\}$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle \int_0^\pi g\left(x+\frac{k\pi}4\right)dx\;(k=0,1,2,3)

의 값을 구하면 (치환적분을 일부지만 올바르게 수행하면 2~3점 부여)

Correction. 채점기준의 $\displaystyle g\left(x+\frac{k\pi}4\right)$ 는 $\displaystyle g\left(x+\frac{k\pi}2\right)$ 의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

우변의 첫 번째 적분은 $\displaystyle u=2+\cos x$ 로 치환하여 값을 구하고 $\displaystyle \int_0^\pi g(x)dx=15\int_0^\pi\frac{\sin x}{2+\cos x}dx=-15\int_3^1\frac1u du=15\ln3$ 를 얻고, 두 번째 적분은 구간을 나눈 다음 $\displaystyle u=2+\cos\left(x+\frac\pi2\right)$ 로 치환하여 값을 구한다. $\displaystyle \begin{aligned}\int_0^\pi g\left(x+\frac\pi2\right)dx&=15\int_0^{\frac\pi2}\frac{\sin\left(x+\frac\pi2\right)}{2+\cos\left(x+\frac\pi2\right)}dx-15\int_{\frac\pi2}^\pi\frac{\sin\left(x+\frac\pi2\right)}{2+\cos\left(x+\frac\pi2\right)}dx\\&=-15\int_2^1\frac1u du+15\int_1^2\frac1u du=30\ln2\end{aligned}$

같은 방식으로 세 번째, 네 번째 적분도 값을 구할 수 있다. $\displaystyle \int_0^\pi g(x+\pi)dx=-15\int_0^\pi\frac{\sin(x+\pi)}{2+\cos(x+\pi)}dx=15\int_1^3\frac1u du=15\ln3,$ $\displaystyle \begin{aligned}\int_0^\pi g\left(x+\frac{3\pi}2\right)dx&=-15\int_0^{\frac\pi2}\frac{\sin\left(x+\frac{3\pi}2\right)}{2+\cos\left(x+\frac{3\pi}2\right)}dx+15\int_{\frac\pi2}^\pi\frac{\sin\left(x+\frac{3\pi}2\right)}{2+\cos\left(x+\frac{3\pi}2\right)}dx\\&=-15\int_2^3\frac1u du+15\int_3^2\frac1u du=30(\ln3-\ln2).\end{aligned}$ Correction. 치환적분한 두 항의 부호가 반대로 적혀 있다. $\displaystyle 15\int_2^3\frac{du}{u}-15\int_3^2\frac{du}{u}$ 가 맞다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+2점 · 합을 계산하여 정답을 얻으면

따라서 $\displaystyle \int_0^\pi f(x)dx=-\ln3+4\ln2-4\ln3+16(\ln3-\ln2)=11\ln3-12\ln2$ 이다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 ±1점을 부여할 수 있습니다.

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자연계열 1교시 2-2번

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