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자연계열 1교시 1번

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중앙대 2023학년도 수시 자연계열 1교시 1번 · mathesis.kr/archive/cau/2023su/jayeongyo1_1

배점20점
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다음 문제

문제

[문제 1] 세 사람 A, B, C의 이름이 각각 적힌 서로 다른 3장의 이름표가 들어 있는 상자가 있다. 다음과 같은 규칙의 게임을 고려하자.

● 1라운드: A, B, C가 상자에서 임의로 각각 한 장씩 이름표를 뽑은 다음, 자신의 이름표를 뽑은 사람을 제외하고 다른 사람의 이름표를 뽑은 사람만 이름표를 상자에 다시 넣는다.

● n\displaystyle n 라운드 (n≥2\displaystyle n\ge2): 아직 자신의 이름표를 뽑지 못한 사람만 (n−1)\displaystyle (n-1) 라운드 직후의 상자에서 임의로 각각 한 장씩 이름표를 뽑는다. 이때 자신의 이름표를 뽑은 사람을 제외하고 다른 사람의 이름표를 뽑은 사람만 이름표를 상자에 다시 넣는다.

● 각 라운드 직후 상자에 남은 이름표가 없으면 게임은 종료된다.

위와 같은 규칙으로 게임이 종료되지 않고 6라운드까지 진행된다고 할 때, 오직 한 사람만 자신의 이름표를 뽑는 경우의 수를 구하시오. (단, 각 라운드에서 이름표를 뽑는 순서는 고려하지 않는다.) [20점]

해설강의 준비중

중앙대 2023학년도 수시 자연계열 1교시 1번 · mathesis.kr/archive/cau/2023su/jayeongyo1_1

우선, n\displaystyle n 라운드에서만 1명이 자신의 이름표를 뽑을 조건을 고려하자. 이를 위해서는,

① 이전 라운드까지는 모든 사람이 다른 사람의 이름표를 뽑아야 하고

② n\displaystyle n 라운드에서 세 사람 중 한 명이 자신의 이름표를 뽑고

③ (n+1)\displaystyle (n+1)라운드부터는 나머지 사람이 모두 다른 사람의 이름표를 계속 뽑아야 한다.

단, n=1\displaystyle n=1인 경우는 이전 라운드가 없기 때문에 ①의 과정이 없고, n=6\displaystyle n=6인 경우는 6라운드까지 고려하므로 ③의 과정이 없다.

편의상, 세 사람 A, B, C의 이름표를 각각 a,b,c\displaystyle a,b,c라고 하자. ①의 경우는 A, B, C가 (b,c,a)\displaystyle (b,c,a) 또는 (c,a,b)\displaystyle (c,a,b)를 고르는 경우이므로 2가지가 있다. ②의 경우는 A, B, C중 한 사람이 자신의 이름표를 뽑고 나머지 두 사람은 이름표를 엇갈리게 뽑는 경우이다. 따라서, 자신의 이름표를 뽑는 사람이 세 사람 중 한 명이므로 3가지가 있다. ③의 경우는 두 사람이 서로 이름표를 엇갈리게 뽑는 경우이므로 1가지 경우이다. 따라서, 6라운드까지 진행에서 n\displaystyle n 라운드에서만 1명이 자신의 이름표를 뽑는 경우의 수를 Mn\displaystyle M_n이라고 하면 다음과 같이 계산할 수 있다.

+3점 · Mn  (n=1,2,⋯ ,6)\displaystyle M_n\;(n=1,2,\cdots,6) 한 개당 ✓ 각 경우에 대한 순서를 이해하고 있으면 +1점 ✓ 경우의 수 계산을 정확하게 한다면 +2점

M1=3×1×1×1×1×1=3;\displaystyle M_1=3\times1\times1\times1\times1\times1=3;예: A만 이름표를 뽑는 경우 (a,c,b)→(⋅,c,b)→⋯→(⋅,c,b)\displaystyle (a,c,b)\to(\cdot,c,b)\to\cdots\to(\cdot,c,b)

+3점 · Mn  (n=1,2,⋯ ,6)\displaystyle M_n\;(n=1,2,\cdots,6) 한 개당 ✓ 각 경우에 대한 순서를 이해하고 있으면 +1점 ✓ 경우의 수 계산을 정확하게 한다면 +2점

M2=2×3×1×1×1×1=3×21;\displaystyle M_2=2\times3\times1\times1\times1\times1=3\times2^1;예: A만 이름표를 뽑는 경우 (b,c,a)\displaystyle (b,c,a) or (c,a,b)→(a,c,b)→(⋅,c,b)→⋯→(⋅,c,b)\displaystyle (c,a,b)\to(a,c,b)\to(\cdot,c,b)\to\cdots\to(\cdot,c,b)

+3점 · Mn  (n=1,2,⋯ ,6)\displaystyle M_n\;(n=1,2,\cdots,6) 한 개당 ✓ 각 경우에 대한 순서를 이해하고 있으면 +1점 ✓ 경우의 수 계산을 정확하게 한다면 +2점

M3=2×2×3×1×1×1=3×22;\displaystyle M_3=2\times2\times3\times1\times1\times1=3\times2^2;예: A만 이름표를 뽑는 경우(b,c,a)\displaystyle (b,c,a) or (c,a,b)→(b,c,a)\displaystyle (c,a,b)\to(b,c,a) or (c,a,b)→(a,c,b)→(⋅,c,b)→⋯→(⋅,c,b)\displaystyle (c,a,b)\to(a,c,b)\to(\cdot,c,b)\to\cdots\to(\cdot,c,b)

+3점 · Mn  (n=1,2,⋯ ,6)\displaystyle M_n\;(n=1,2,\cdots,6) 한 개당 ✓ 각 경우에 대한 순서를 이해하고 있으면 +1점 ✓ 경우의 수 계산을 정확하게 한다면 +2점
+3점 · Mn  (n=1,2,⋯ ,6)\displaystyle M_n\;(n=1,2,\cdots,6) 한 개당 ✓ 각 경우에 대한 순서를 이해하고 있으면 +1점 ✓ 경우의 수 계산을 정확하게 한다면 +2점

…

+3점 · Mn  (n=1,2,⋯ ,6)\displaystyle M_n\;(n=1,2,\cdots,6) 한 개당 ✓ 각 경우에 대한 순서를 이해하고 있으면 +1점 ✓ 경우의 수 계산을 정확하게 한다면 +2점

M6=2×2×2×2×2×3=3×25;\displaystyle M_6=2\times2\times2\times2\times2\times3=3\times2^5;예: A만 이름표를 뽑는 경우(b,c,a)\displaystyle (b,c,a) or (c,a,b)→⋯→(b,c,a)\displaystyle (c,a,b)\to\cdots\to(b,c,a) or (c,a,b)→(a,c,b)\displaystyle (c,a,b)\to(a,c,b)

+2점 · 모든 경우의 수를 합하여 최종 답인 ‘189’를 계산했다면

위의 계산에 의하여, 문제에서 요구하는 경우의 수는 다음과 같다.∑n=16Mn=3×(26−12−1)=3×63=189\displaystyle \sum_{n=1}^6 M_n=3\times\left(\frac{2^6-1}{2-1}\right)=3\times63=189

※ 계산 실수로 틀렸어도 논리 전개 과정이 맞으면 해당 부분에 1~2점의 부분 점수를 부여함.

※ 각 부분에서 바르게 답안을 작성한 경우에도 답안의 완성도에 따라 총점 20점 이내에서 ±1점 추가 점수 부여 가능함.

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