자연계열 2교시 3-1번

중앙대 2023학년도 수시 자연계열 2교시 3-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2023su/jayeongyo2_3_1

[문제 3] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 극값을 가지면 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$ 이다.

● 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle \sin^2x+\cos^2x=1$ 이 성립한다.

● 미분가능한 두 함수 $\displaystyle y=f(u)$ , $\displaystyle u=g(x)$ 에 대하여 합성함수 $\displaystyle y=f(g(x))$ 의 도함수는 $\displaystyle \{f(g(x))\}^{\prime}=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$ 이다.

● $\displaystyle x$ 의 함수 $\displaystyle y$ 가 음함수의 꼴 $\displaystyle f(x,y)=0$ 으로 주어질 때, $\displaystyle f(x,y)=0$ 의 양변을 $\displaystyle x$ 에 대하여 미분하여 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ 를 구한다.

[문제 3-1] 조건 $\displaystyle a\ge0$ , $\displaystyle 0<2b<\left(a+\frac32\right)^2$ 을 만족하는 실수 $\displaystyle a,b$ 가 있다. 주어진 $\displaystyle a$ 에 대하여 곡선 $\displaystyle y=\left(a+\frac32\right)^2-(a+1)^2x^2$ 과 원 $\displaystyle x^2+(y-b)^2=b^2$ 이 서로 다른 두 점에서 만나게 하는 $\displaystyle b$ 의 값을 $\displaystyle f(a)$ 라 할 때, $\displaystyle f(a)$ 의 최댓값을 구하시오. [10점]

해설강의 준비중

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[문제 3-1]

+3점 ·

\displaystyle (a+1)^2y^2-(2b(a+1)^2+1)y+\left(a+\frac32\right)^2=0

을 구하면

$\displaystyle (a+1)^2x^2=\left(a+\frac32\right)^2-y$ 를 $\displaystyle x^2+(y-b)^2=b^2$ 에 대입하여 정리하면 아래와 같다. $\displaystyle (a+1)^2y^2-(2b(a+1)^2+1)y+\left(a+\frac32\right)^2=0$

+4점 ·

\displaystyle b=f(a)=\frac{2a^2+5a+2}{2a^2+4a+2}

를 구하면

이차함수와 원이 두 점에서 만나려면 $\displaystyle y$ 가 중근이어야 하고 판별식을 쓰면 다음을 얻는다. $\displaystyle (2b(a+1)^2+1)^2=4(a+1)^2\left(a+\frac32\right)^2$ 정리하면 $\displaystyle 2b(a+1)^2+1=2(a+1)\left(a+\frac32\right)$ 이고 $\displaystyle b=f(a)=\frac{2a^2+5a+2}{2a^2+4a+2}$ 이다.

+3점 · 미분을 하여 최댓값

\displaystyle f(1)=\frac98

를 구하면

$\displaystyle a\ge0$ 이고 $\displaystyle f^{\prime}(a)=\frac{1-a}{2(a+1)^3}$ 이므로 $\displaystyle a=1$ 에서 최댓값 $\displaystyle f(1)=\frac98$ 를 갖는다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 ±1점을 부여할 수 있습니다.

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