자연계열 2교시 3번

$\displaystyle (a+1)^2x^2=\left(a+\frac32\right)^2-y$를 $\displaystyle x^2+(y-b)^2=b^2$에 대입하여 정리하면 아래와 같다.$\displaystyle (a+1)^2y^2-(2b(a+1)^2+1)y+\left(a+\frac32\right)^2=0$

이차함수와 원이 두 점에서 만나려면 $\displaystyle y$가 중근이어야 하고 판별식을 쓰면 다음을 얻는다.$\displaystyle (2b(a+1)^2+1)^2=4(a+1)^2\left(a+\frac32\right)^2$정리하면 $\displaystyle 2b(a+1)^2+1=2(a+1)\left(a+\frac32\right)$이고 $\displaystyle b=f(a)=\frac{2a^2+5a+2}{2a^2+4a+2}$이다.

$\displaystyle a\ge0$이고 $\displaystyle f^{\prime}(a)=\frac{1-a}{2(a+1)^3}$이므로 $\displaystyle a=1$에서 최댓값 $\displaystyle f(1)=\frac98$를 갖는다.

음함수 미분하여 다음을 얻는다.$\displaystyle (x-\cos t)(x^{\prime}+\sin t)+(\sqrt x-\sin t)\left(\frac{x^{\prime}}{2\sqrt x}-\cos t\right)=0$1) $\displaystyle t=\frac\pi2$일 때, 대응하는 점은 B(1,1)이다. $\displaystyle t=\frac\pi2$, $\displaystyle x=1$ 대입하면 $\displaystyle \frac{dx}{dt}=-1$이다.

2) $\displaystyle x$가 $\displaystyle t=\alpha$에서 최댓값을 가질 때 $\displaystyle x^{\prime}(\alpha)=0$임을 고려하면, $\displaystyle \sqrt x=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$이다.

식 $\displaystyle (*)$을 정리하면 $\displaystyle x^2-2x\cos t+x-2\sqrt x\sin t=0$이다. $\displaystyle \sqrt x=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$를 대입하면$\displaystyle \cos\alpha-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha=2\sin^4\alpha$이 된다. $\displaystyle \sin^2t=1-\cos^2t$를 이용하여 정리하면 $\displaystyle 2\cos^2\alpha+\cos\alpha-2=0$이 되고 $\displaystyle \cos\alpha=\frac{-1+\sqrt{17}}4$이다.

$\displaystyle x$값을 구하면 $\displaystyle x=\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\frac{9-\sqrt{17}}{\sqrt{17}-1}=\frac{\sqrt{17}-1}2$이다.구간 $\displaystyle 0\le t\le\pi$의 양 끝점에서 함수 값을 확인하자. $\displaystyle t=0$일 때, 대응하는 B는 $\displaystyle (1,1)$이고, $\displaystyle t=\pi$일 때, 대응하는 B는 $\displaystyle (0,0)$이다. $\displaystyle 1<\frac{\sqrt{17}-1}2$이므로 최댓값은 $\displaystyle x=\frac{\sqrt{17}-1}2$이다.