자연계열 1교시 2-1번

중앙대 2024학년도 수시 자연계열 1교시 2-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2024su/jayeongyo1_2_1

[문제 2] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● $\displaystyle a>0$ , $\displaystyle a\ne1$ , $\displaystyle N>0$ 일 때, $\displaystyle a^x=N\Leftrightarrow x=\log_aN$ 이다. 그리고 $\displaystyle \log_aN^k=k\log_aN$ 이다. (단, $\displaystyle k$ 는 실수)

● $\displaystyle a>0$ , $\displaystyle a\ne1$ , $\displaystyle b>0$ , $\displaystyle c>0$ , $\displaystyle c\ne1$ 일 때, $\displaystyle \log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}$ 이다.

● 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속일 때, 다음 식이 성립한다. $\displaystyle \int_a^b f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x\quad\text{(단, }\Delta x=\frac{b-a}n,\;x_k=a+k\Delta x\text{)}$

● $\displaystyle \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$ (단, $\displaystyle \tan\alpha\tan\beta\ne-1$ )

[문제 2-1] 다음 식의 값을 구하시오. [10점] $\displaystyle \sum_{k=2}^9\left(k^{\frac{k\ln2}{\ln k}}-2^{\frac{2\ln k}{\ln2}}\right)$

해설강의 준비중

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[문제 2-1]

+6점 · 로그함수의 성질을 이용하여

\displaystyle k^{\frac{k\ln2}{\ln k}}=2^k

\displaystyle 2^{\frac{2\ln k}{\ln2}}=k^2

구하면

로그함수의 성질을 이용하여 $\displaystyle k^{\frac{k\ln2}{\ln k}}=k^{\frac{\ln2^k}{\ln k}}=k^{\log_k2^k}=2^k,\qquad2^{\frac{2\ln k}{\ln2}}=2^{\frac{\ln k^2}{\ln2}}=2^{\log_2k^2}=k^2$ 로 정리한 후,

+4점 · 수열의 합공식을 이용하여 정답 736을 얻으면

아래와 같이 등비수열의 합과 자연수의 거듭제곱의 합에 대한 식을 이용하여 답을 구한다. $\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=2}^9 2^k-\sum_{k=2}^9 k^2&=\sum_{k=2}^9 2^k-\left(\sum_{k=1}^9 k^2\right)+1=\frac{4(2^8-1)}{2-1}-\frac{9\cdot10\cdot19}6+1\\&=1020-285+1=736\end{aligned}$

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 ±1점을 부여할 수 있습니다.

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