자연계열 1교시 2번

로그함수의 성질을 이용하여$\displaystyle k^{\frac{k\ln2}{\ln k}}=k^{\frac{\ln2^k}{\ln k}}=k^{\log_k2^k}=2^k,\qquad2^{\frac{2\ln k}{\ln2}}=2^{\frac{\ln k^2}{\ln2}}=2^{\log_2k^2}=k^2$로 정리한 후,

아래와 같이 등비수열의 합과 자연수의 거듭제곱의 합에 대한 식을 이용하여 답을 구한다.$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=2}^9 2^k-\sum_{k=2}^9 k^2&=\sum_{k=2}^9 2^k-\left(\sum_{k=1}^9 k^2\right)+1=\frac{4(2^8-1)}{2-1}-\frac{9\cdot10\cdot19}6+1\\&=1020-285+1=736\end{aligned}$

우선 주어진 문제의 조건으로부터 $\displaystyle f(t)=1+(\tan t)\left\{\tan\left(t+\frac\pi6\right)\right\}$를 구한 후,

정적분과 급수의 합 사이의 관계를 이용하여 극한값을 $\displaystyle \frac6\pi\int_0^{\frac\pi6}\left[1+(\tan x)\left\{\tan\left(x+\frac\pi6\right)\right\}\right]dx$로 표현한다.

그리고 제시문에 주어진 탄젠트 함수의 덧셈정리를 이용하여$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n f\left(\frac{\pi k}{6n}\right)=\frac6\pi\int_0^{\frac\pi6}\frac{\tan\left(x+\frac\pi6\right)-\tan x}{\tan\frac\pi6}dx=\frac{6\sqrt3}\pi\int_0^{\frac\pi6}\left\{\tan\left(x+\frac\pi6\right)-\tan x\right\}dx$를 얻는다.

치환적분을 이용하면 $\displaystyle \tan x$의 부정적분이 $\displaystyle -\ln(\cos x)+C$임을 알 수 있는데, 이를 이용하여 다음의 답을 얻는다.$\displaystyle \frac{6\sqrt3}\pi\left\{-\ln\left(\cos\frac\pi3\right)+\ln\left(\cos\frac\pi6\right)+\ln\left(\cos\frac\pi6\right)-\ln(\cos0)\right\}=\frac{6\sqrt3}\pi\ln\frac32$