자연계열 1교시 1번

(1) 한 개의 주사위를 한 번 던져서 나온 눈의 수가 3의 배수일 확률은 $\displaystyle \frac13$이다. 이때 주머니 A에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼낼 때 적힌 숫자들의 표본공간은 $\displaystyle \{(1,2),(1,3),(2,3)\}$이고, 각 경우가 발생할 확률은 $\displaystyle \frac13$이다. 주머니 B에서 임의로 1개의 공을 꺼낼 때 적힌 숫자들의 표본공간은 $\displaystyle \{1,2\}$이고, 각 경우의 확률은 $\displaystyle \frac12$이다. 예를 들어, 주머니 A에서 꺼낸 공이 $\displaystyle (1,2)$이고, 주머니 B에서 꺼낸 공이 1일 때 확률은 $\displaystyle \frac13\times\frac13\times\frac12=\frac1{18}$이고, 공에 적힌 숫자들의 합 $\displaystyle k$는 4이다.

(2) 주사위의 눈의 수가 3의 배수가 아닐 확률은 $\displaystyle \frac23$이다. 이때 주머니 A에서 임의로 1개의 공을 꺼낼 때 적힌 숫자들의 표본공간은 $\displaystyle \{1,2,3\}$이고 각 경우의 확률은 $\displaystyle \frac13$이고, 주머니 B에서 2개의 공을 동시에 꺼낼 때 적힌 숫자들의 표본공간은 $\displaystyle \{(1,2)\}$이고 그때의 확률은 1이다. 예를 들어, 주머니 A에서 꺼낸 공이 1이고, 주머니 B에서 꺼낸 공이 $\displaystyle (1,2)$일 때 확률은 $\displaystyle \frac23\times\frac13\times1=\frac29$이고, 공에 적힌 숫자들의 합 $\displaystyle k$는 4이다.

(3) 위와 같은 방식으로 얻은 시행의 결과는 다음과 같다.

$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c}\text{주사위의 눈의 수}&\text{주머니 A에서 꺼낸 공}&\text{주머니 B에서 꺼낸 공}&k&\text{확률}\\\hline\text{3의 배수인 경우}&(1,2)&1&4&\frac13\times\frac13\times\frac12=\frac1{18}\\&(1,2)&2&5&\frac13\times\frac13\times\frac12=\frac1{18}\\&(1,3)&1&5&\frac13\times\frac13\times\frac12=\frac1{18}\\&(1,3)&2&6&\frac13\times\frac13\times\frac12=\frac1{18}\\&(2,3)&1&6&\frac13\times\frac13\times\frac12=\frac1{18}\\&(2,3)&2&7&\frac13\times\frac13\times\frac12=\frac1{18}\\\hline\text{3의 배수가 아닌 경우}&1&(1,2)&4&\frac23\times\frac13\times1=\frac29\\&2&(1,2)&5&\frac23\times\frac13\times1=\frac29\\&3&(1,2)&6&\frac23\times\frac13\times1=\frac29\end{array}$

(4) 반지름의 길이가 $\displaystyle k-3$인 원기둥의 높이는 그림 1에서 도형의 닮음을 이용하면 $\displaystyle (16-2k)$로 계산할 수 있고, 원기둥의 부피는 $\displaystyle (k-3)^2(16-2k)\pi$이다.

(9) 시행의 결과는 다음과 같고, 이를 이용하여 점수의 기댓값을 계산할 수 있다.

$\displaystyle \begin{array}{c|c|c|c|c}k&\text{확률}&\text{원기둥의 밑면의 반지름}&\text{원기둥의 높이}&\text{원기둥의 부피}\\\hline4&\frac5{18}&1&8&8\pi\\5&\frac6{18}&2&6&24\pi\\6&\frac6{18}&3&4&36\pi\\7&\frac1{18}&4&2&32\pi\end{array}$