중앙대 2024학년도 수시 자연계열 1교시 4-2번 해설

[문제 4] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 $\displaystyle R$ 라 하면 $\displaystyle \frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}=2R$ 이다.

● 삼각형 ABC에서 $\displaystyle a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 이다.

● 평면 위의 한 점 F와 이 점을 지나지 않는 직선 $\displaystyle l$ 이 주어질 때, 점 F와 직선 $\displaystyle l$ 에 이르는 거리가 같은 점들의 집합을 포물선이라 한다.

● 이차방정식 $\displaystyle ax^2+bx+c=0$ 의 두 근을 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ 라 하면 $\displaystyle \alpha+\beta=-\frac ba$ 이고 $\displaystyle \alpha\beta=\frac ca$ 이다.

[문제 4-2] 아래의 그림과 같이 포물선 $\displaystyle y^2=4x$ 의 초점 F(1,0)을 지나고 $\displaystyle m>0$ 인 직선 $\displaystyle y=m(x-1)$ 이 서로 다른 두 점 P, Q에서 포물선과 만난다. 두 점 P, Q에서 준선 $\displaystyle x=-1$ 에 내린 수선의 발을 각각 P′, Q′이라 하자. 사각형 PP′Q′Q의 둘레의 길이가 40일 때, 이 사각형의 넓이를 구하시오. [15점]

중앙대 2024학년도 수시 자연계열 1교시 4-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2024su/jayeongyo1_4_2

[문제 4-2]

+5점 ·

\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\frac{4(m^2+1)}{m^2}

을 구하면

$\displaystyle y^2=4x$ 에 $\displaystyle y=m(x-1)$ 을 대입하고 정리해 얻은 이차방정식 $\displaystyle m^2x^2-2(m^2+2)x+m^2=0$ 의 두 근을 $\displaystyle \alpha,\beta$ 라 하면 $\displaystyle \alpha+\beta=\frac{2(m^2+2)}{m^2}$ 이다. 그리고 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\overline{\mathrm{PF}}+\overline{\mathrm{FQ}}=\overline{\mathrm{PP^{\prime}}}+\overline{\mathrm{QQ^{\prime}}}=(\alpha+1)+(\beta+1)=\frac{4(m^2+1)}{m^2}$

+5점 · 방정식

\displaystyle \frac{8(m^2+1)}{m^2}+4\sqrt{\frac{m^2+1}{m^2}}=40

을 찾으면

점 P에서 직선 QQ′에 내린 수선의 발을 R이라 하고 각 PQR을 $\displaystyle \theta$ 라 하면, $\displaystyle \overline{\mathrm{P^{\prime}Q^{\prime}}}=\overline{\mathrm{PR}}=\tan\theta\,\overline{\mathrm{QR}}=m\sqrt{\overline{\mathrm{PQ}}^2-\overline{\mathrm{PR}}^2}=m\sqrt{\overline{\mathrm{PQ}}^2-\overline{\mathrm{P^{\prime}Q^{\prime}}}^2}$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{P^{\prime}Q^{\prime}}}=\sqrt{\frac{m^2}{m^2+1}}\,\overline{\mathrm{PQ}}=4\sqrt{\frac{m^2+1}{m^2}}$ 사각형 PP′Q′Q의 둘레의 길이 $\displaystyle \ell$ 은 $\displaystyle \ell=\overline{\mathrm{PQ}}+\overline{\mathrm{PP^{\prime}}}+\overline{\mathrm{QQ^{\prime}}}+\overline{\mathrm{P^{\prime}Q^{\prime}}}=2\overline{\mathrm{PQ}}+\overline{\mathrm{P^{\prime}Q^{\prime}}}=\frac{8(m^2+1)}{m^2}+4\sqrt{\frac{m^2+1}{m^2}}=40$

+5점 · 사각형 PP′Q′Q의 넓이 64를 구하면 (사각형 PP′Q′Q의 넓이 64 이외의 것을 더 찾으면: -2점)

$\displaystyle r=\sqrt{\frac{m^2+1}{m^2}}$ 라 놓아 얻은 이차방정식 $\displaystyle 8r^2+4r=40$ 에서 $\displaystyle r>0$ 이므로 $\displaystyle r=\sqrt{\frac{m^2+1}{m^2}}=2$ 따라서 $\displaystyle m^2=\frac13$ 이고 사각형 PP′Q′Q의 넓이 $\displaystyle S$ 는 $\displaystyle S=\frac12\overline{\mathrm{P^{\prime}Q^{\prime}}}\cdot(\overline{\mathrm{PP^{\prime}}}+\overline{\mathrm{QQ^{\prime}}})=\frac12\overline{\mathrm{P^{\prime}Q^{\prime}}}\cdot\overline{\mathrm{PQ}}=\frac12\cdot8\cdot16=64$

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 ±1점을 부여할 수 있습니다.

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자연계열 1교시 4-2번

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