자연계열 1교시 4번

직각삼각형 MBN에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{MN}}=\sqrt{\overline{\mathrm{MB}}^2+\overline{\mathrm{BN}}^2}=\sqrt{3+1}=2$이다. 직각삼각형 FCM과 NEF에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{MF}}=\sqrt{\overline{\mathrm{MC}}^2+\overline{\mathrm{FC}}^2}=\sqrt5$와 $\displaystyle \overline{\mathrm{NF}}=\sqrt{\overline{\mathrm{NE}}^2+\overline{\mathrm{EF}}^2}=\sqrt5$이므로 삼각형 FMN은 이등변삼각형이고 삼각형 MPF는 직각삼각형이다. 직각삼각형 MPF에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PF}}=\sqrt{\overline{\mathrm{MF}}^2-\overline{\mathrm{MP}}^2}=2$

점 Q에서 선분 EF에 내린 수선의 발을 R이라 할 때, $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}=\frac32$이고 삼각형 QRF는 직각삼각형이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{QF}}=\sqrt{\overline{\mathrm{QR}}^2+\overline{\mathrm{RF}}^2}=\frac{\sqrt{13}}2$

$\displaystyle \theta=\angle\mathrm{QPF}$라 하면 삼각형 QPF에서 코사인법칙에 의하여$\displaystyle \cos\theta=\frac{\frac14+4-\frac{13}4}{2\times\frac12\times2}=\frac12$이므로 $\displaystyle \sin\theta=\frac{\sqrt3}2$이다. 외접원의 반지름의 길이를 $\displaystyle R$라 하면 사인법칙에 의하여$\displaystyle 2R=\frac{\frac{\sqrt{13}}2}{\frac{\sqrt3}2}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt3}$이므로 $\displaystyle R=\frac{\sqrt{13}}{2\sqrt3}=\frac{\sqrt{39}}6$

$\displaystyle y^2=4x$에 $\displaystyle y=m(x-1)$을 대입하고 정리해 얻은 이차방정식 $\displaystyle m^2x^2-2(m^2+2)x+m^2=0$의 두 근을 $\displaystyle \alpha,\beta$라 하면 $\displaystyle \alpha+\beta=\frac{2(m^2+2)}{m^2}$이다. 그리고$\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\overline{\mathrm{PF}}+\overline{\mathrm{FQ}}=\overline{\mathrm{PP^{\prime}}}+\overline{\mathrm{QQ^{\prime}}}=(\alpha+1)+(\beta+1)=\frac{4(m^2+1)}{m^2}$

점 P에서 직선 QQ′에 내린 수선의 발을 R이라 하고 각 PQR을 $\displaystyle \theta$라 하면,$\displaystyle \overline{\mathrm{P^{\prime}Q^{\prime}}}=\overline{\mathrm{PR}}=\tan\theta\,\overline{\mathrm{QR}}=m\sqrt{\overline{\mathrm{PQ}}^2-\overline{\mathrm{PR}}^2}=m\sqrt{\overline{\mathrm{PQ}}^2-\overline{\mathrm{P^{\prime}Q^{\prime}}}^2}$이므로$\displaystyle \overline{\mathrm{P^{\prime}Q^{\prime}}}=\sqrt{\frac{m^2}{m^2+1}}\,\overline{\mathrm{PQ}}=4\sqrt{\frac{m^2+1}{m^2}}$사각형 PP′Q′Q의 둘레의 길이 $\displaystyle \ell$은$\displaystyle \ell=\overline{\mathrm{PQ}}+\overline{\mathrm{PP^{\prime}}}+\overline{\mathrm{QQ^{\prime}}}+\overline{\mathrm{P^{\prime}Q^{\prime}}}=2\overline{\mathrm{PQ}}+\overline{\mathrm{P^{\prime}Q^{\prime}}}=\frac{8(m^2+1)}{m^2}+4\sqrt{\frac{m^2+1}{m^2}}=40$

$\displaystyle r=\sqrt{\frac{m^2+1}{m^2}}$라 놓아 얻은 이차방정식 $\displaystyle 8r^2+4r=40$에서 $\displaystyle r>0$이므로 $\displaystyle r=\sqrt{\frac{m^2+1}{m^2}}=2$ 따라서 $\displaystyle m^2=\frac13$이고 사각형 PP′Q′Q의 넓이 $\displaystyle S$는$\displaystyle S=\frac12\overline{\mathrm{P^{\prime}Q^{\prime}}}\cdot(\overline{\mathrm{PP^{\prime}}}+\overline{\mathrm{QQ^{\prime}}})=\frac12\overline{\mathrm{P^{\prime}Q^{\prime}}}\cdot\overline{\mathrm{PQ}}=\frac12\cdot8\cdot16=64$