수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 2교시 3-2번

중앙대 2024학년도 수시 자연계열 2교시 3-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2024su/jayeongyo2_3_2

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문제

[문제 3] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 좌표평면에서 두 점 A(x1,y1)\displaystyle \mathrm{A}(x_1,y_1), B(x2,y2)\displaystyle \mathrm{B}(x_2,y_2)사이의 거리는 AB‾=(x1−x2)2+(y1−y2)2\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}이다.

● 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이면 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 이 구간에서 최댓값과 최솟값을 갖는다.

● 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=a\displaystyle x=a에서 미분가능하고 x=a\displaystyle x=a에서 극값을 가지면 f′(a)=0\displaystyle f^{\prime}(a)=0이다.

[문제 3-2] 좌표평면 위의 세 점 A(5,0), B(0,5), P(7cos⁡θ,7sin⁡θ)\displaystyle \mathrm{P}(7\cos\theta,7\sin\theta)에 대하여 AP‾+BP‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}+\overline{\mathrm{BP}}의 최솟값을 m\displaystyle m이라 할 때, m2\displaystyle m^2의 값을 구하시오. (단, 0≤θ≤π2\displaystyle 0\le\theta\le\frac\pi2이다.) [15점]

해설강의 준비중

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[문제 3-2]

+7점 · f(θ)\displaystyle f(\theta)를 미분하여 sin⁡θ−cos⁡θ=0\displaystyle \sin\theta-\cos\theta=0, 37(sin⁡θ+cos⁡θ)=35(1+sin⁡θcos⁡θ)\displaystyle 37(\sin\theta+\cos\theta)=35(1+\sin\theta\cos\theta)를 구하면

함수 f(θ)\displaystyle f(\theta)를 AP‾+BP‾=f(θ)=74−70cos⁡θ+74−70sin⁡θ\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}+\overline{\mathrm{BP}}=f(\theta)=\sqrt{74-70\cos\theta}+\sqrt{74-70\sin\theta}라 하자. f′(θ)=35sin⁡θ74−70cos⁡θ−35cos⁡θ74−70sin⁡θ\displaystyle f^{\prime}(\theta)=\frac{35\sin\theta}{\sqrt{74-70\cos\theta}}-\frac{35\cos\theta}{\sqrt{74-70\sin\theta}}이므로 f′(θ)=0\displaystyle f^{\prime}(\theta)=0을 정리하면37(sin⁡2θ−cos⁡2θ)−35(sin⁡3θ−cos⁡3θ)=0\displaystyle 37(\sin^2\theta-\cos^2\theta)-35(\sin^3\theta-\cos^3\theta)=0이다. 정리하면(sin⁡θ−cos⁡θ)[37(sin⁡θ+cos⁡θ)−35(1+sin⁡θcos⁡θ)]=0\displaystyle (\sin\theta-\cos\theta)[37(\sin\theta+\cos\theta)-35(1+\sin\theta\cos\theta)]=0이다.

+6점 · sin⁡θ=cos⁡θ=22\displaystyle \sin\theta=\cos\theta=\frac{\sqrt2}2와 sin⁡α=35\displaystyle \sin\alpha=\frac35, cos⁡α=45\displaystyle \cos\alpha=\frac45를 구하면

sin⁡θ−cos⁡θ=0\displaystyle \sin\theta-\cos\theta=0일 때, θ=π4\displaystyle \theta=\frac\pi4이고 sin⁡θ=cos⁡θ=22\displaystyle \sin\theta=\cos\theta=\frac{\sqrt2}2이다.37(sin⁡θ+cos⁡θ)=35(1+sin⁡θcos⁡θ)\displaystyle 37(\sin\theta+\cos\theta)=35(1+\sin\theta\cos\theta)일 때, 제곱하고 X=sin⁡θcos⁡θ\displaystyle X=\sin\theta\cos\theta로 써서 정리하면(25×49)X2−288X−144=(25X−12)(49X+12)=0\displaystyle (25\times49)X^2-288X-144=(25X-12)(49X+12)=0이다. 범위가 0≤θ≤π2\displaystyle 0\le\theta\le\frac\pi2이므로 sin⁡θcos⁡θ=1225\displaystyle \sin\theta\cos\theta=\frac{12}{25}이다. sin⁡θ+cos⁡θ=75\displaystyle \sin\theta+\cos\theta=\frac75와 연립하여 근을 구하면 sin⁡α=35\displaystyle \sin\alpha=\frac35, cos⁡α=45\displaystyle \cos\alpha=\frac45를 만족하는 α\displaystyle \alpha와 sin⁡β=45\displaystyle \sin\beta=\frac45, cos⁡β=35\displaystyle \cos\beta=\frac35를 만족하는 β\displaystyle \beta가 있다.

+2점 · 함수값을 비교하여 최솟값 72\displaystyle 7\sqrt2을 구하면

Correction. 채점기준의 72\displaystyle 7\sqrt2는 m\displaystyle m의 값이다. 문제에서 구하는 m2\displaystyle m^2의 값은 98\displaystyle 98이다.

θ=0,α,π4,β,π2\displaystyle \theta=0,\alpha,\frac\pi4,\beta,\frac\pi2에서 {f(θ)}2\displaystyle \{f(\theta)\}^2값을 계산하자.{f(0)}2={f(π2)}2=78+474,{f(α)}2={f(β)}2=98,{f(π4)}2=296−1402\displaystyle \{f(0)\}^2=\left\{f\left(\frac\pi2\right)\right\}^2=78+4\sqrt{74},\quad\{f(\alpha)\}^2=\{f(\beta)\}^2=98,\quad\left\{f\left(\frac\pi4\right)\right\}^2=296-140\sqrt2이다. 최솟값은 98이다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 ±1점을 부여할 수 있습니다.

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