자연계열 2교시 3번

정적분하면 $\displaystyle a_n=\int_0^{\ln(n+1)}(2e^{2x}-e^x)dx=\Biggl[e^{2x}-e^x\Biggr]_0^{\ln(n+1)}=n(n+1)$이다.

$\displaystyle \frac1{a_k}=\frac1{k(k+1)}=\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)$이므로 주어진 식의 값은$\displaystyle \sum_{k=1}^{99}\left(\frac1k+\frac1{k+1}+1\right)\frac1{a_k}=\sum_{k=1}^{99}\left(\frac1{k^2}-\frac1{(k+1)^2}\right)+\sum_{k=1}^{99}\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)=\frac{9999}{10000}+\frac{99}{100}=\frac{19899}{10000}$

함수 $\displaystyle f(\theta)$를 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}+\overline{\mathrm{BP}}=f(\theta)=\sqrt{74-70\cos\theta}+\sqrt{74-70\sin\theta}$라 하자. $\displaystyle f^{\prime}(\theta)=\frac{35\sin\theta}{\sqrt{74-70\cos\theta}}-\frac{35\cos\theta}{\sqrt{74-70\sin\theta}}$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(\theta)=0$을 정리하면$\displaystyle 37(\sin^2\theta-\cos^2\theta)-35(\sin^3\theta-\cos^3\theta)=0$이다. 정리하면$\displaystyle (\sin\theta-\cos\theta)[37(\sin\theta+\cos\theta)-35(1+\sin\theta\cos\theta)]=0$이다.

$\displaystyle \sin\theta-\cos\theta=0$일 때, $\displaystyle \theta=\frac\pi4$이고 $\displaystyle \sin\theta=\cos\theta=\frac{\sqrt2}2$이다.$\displaystyle 37(\sin\theta+\cos\theta)=35(1+\sin\theta\cos\theta)$일 때, 제곱하고 $\displaystyle X=\sin\theta\cos\theta$로 써서 정리하면$\displaystyle (25\times49)X^2-288X-144=(25X-12)(49X+12)=0$이다. 범위가 $\displaystyle 0\le\theta\le\frac\pi2$이므로 $\displaystyle \sin\theta\cos\theta=\frac{12}{25}$이다. $\displaystyle \sin\theta+\cos\theta=\frac75$와 연립하여 근을 구하면 $\displaystyle \sin\alpha=\frac35$, $\displaystyle \cos\alpha=\frac45$를 만족하는 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \sin\beta=\frac45$, $\displaystyle \cos\beta=\frac35$를 만족하는 $\displaystyle \beta$가 있다.

$\displaystyle \theta=0,\alpha,\frac\pi4,\beta,\frac\pi2$에서 $\displaystyle \{f(\theta)\}^2$값을 계산하자.$\displaystyle \{f(0)\}^2=\left\{f\left(\frac\pi2\right)\right\}^2=78+4\sqrt{74},\quad\{f(\alpha)\}^2=\{f(\beta)\}^2=98,\quad\left\{f\left(\frac\pi4\right)\right\}^2=296-140\sqrt2$이다. 최솟값은 98이다.