중앙대 2024학년도 수시 자연계열 2교시 4-1번 해설

[문제 4] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 타원 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 에 접하고 기울기가 $\displaystyle m$ 인 접선의 방정식은 $\displaystyle y=mx\pm\sqrt{a^2m^2+b^2}$ 이다.

● 이차방정식 $\displaystyle ax^2+bx+c=0$ 의 두 근을 $\displaystyle \alpha,\beta$ 라 하면 $\displaystyle \alpha+\beta=-\frac ba$ 이고 $\displaystyle \alpha\beta=\frac ca$ 이다.

● 평면 $\displaystyle \beta$ 위에 있는 도형의 넓이를 $\displaystyle S$ , 이 도형의 평면 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영의 넓이를 $\displaystyle S^{\prime}$ 이라 할 때, 두 평면 $\displaystyle \alpha,\beta$ 가 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta$ $\displaystyle (0^\circ\le\theta\le90^\circ)$ 라 하면 $\displaystyle S^{\prime}=S\cos\theta$ 이다.

[문제 4-1] 직선 $\displaystyle y=\sqrt3$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm P(k,\sqrt3)$ 에서 타원 $\displaystyle x^2+\frac{y^2}2=1$ 에 그은 두 접선이 이루는 예각이 $\displaystyle 45^\circ$ 일 때, $\displaystyle k^2$ 의 값을 구하시오. [15점]

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[문제 4-1]

$\displaystyle k=\pm1$ 인 경우, 두 접선이 이루는 각이 $\displaystyle 45^\circ$ 가 아님을 쉽게 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle k\ne\pm1$ 이라 가정할 수 있다.

+5점 · 접선을

\displaystyle y=mx\pm\sqrt{m^2+2}

라 놓고,

\displaystyle (k^2-1)m^2-2\sqrt3km+1=0

를 얻으면

접선을 $\displaystyle y=mx\pm\sqrt{m^2+2}$ 라 놓자. 접선이 점 $\displaystyle \mathrm P(k,\sqrt3)$ 을 지나므로 대입하여 정리하여 $\displaystyle m$ 에 대한 이차방정식 $\displaystyle (k^2-1)m^2-2\sqrt3km+1=0$ 을 얻는다.

+5점 · 두 접선이

\displaystyle x

축과 이루는 각을

\displaystyle \alpha,\beta

라 놓고,

\displaystyle \tan\alpha+\tan\beta=\frac{2\sqrt3k}{k^2-1}

과

\displaystyle \tan\alpha\tan\beta=\frac1{k^2-1}

을 얻으면

아래 그림과 같이 두 접선이 $\displaystyle x$ 축과 이루는 각을 $\displaystyle \alpha,\beta$ $\displaystyle (\alpha>\beta)$ 라 하면 $\displaystyle \tan\alpha$ , $\displaystyle \tan\beta$ 는 이 이차방정식의 두 근이고, 근과 계수의 관계에 의하여 $\displaystyle \tan\alpha+\tan\beta=\frac{2\sqrt3k}{k^2-1}$ 과 $\displaystyle \tan\alpha\tan\beta=\frac1{k^2-1}$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle k^2=4+2\sqrt5

를 구하면

$\displaystyle \alpha-\beta=45^\circ$ 이므로 $\displaystyle 1=\tan^2(\alpha-\beta)=\left(\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\right)^2=\frac{(\tan\alpha+\tan\beta)^2-4\tan\alpha\tan\beta}{(1+\tan\alpha\tan\beta)^2}=\frac{\left(\frac{2\sqrt3k}{k^2-1}\right)^2-\frac4{k^2-1}}{\left(1+\frac1{k^2-1}\right)^2}$ Comment. $\displaystyle k=0$ 이면 두 접선의 기울기는 $\displaystyle 1$ , $\displaystyle -1$ 이므로 서로 수직이다. 따라서 주어진 조건에서 제외하고 $\displaystyle k\ne0$ 인 경우에 탄젠트 식을 사용한다.정리하여 방정식 $\displaystyle (k^2)^2-8k^2-4=0$ 을 얻는다. $\displaystyle k^2>0$ 이므로 $\displaystyle k^2=4+2\sqrt5$

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 ±1점을 부여할 수 있습니다.

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자연계열 2교시 4-1번

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