자연계열 2교시 4번

접선을 $\displaystyle y=mx\pm\sqrt{m^2+2}$라 놓자. 접선이 점 $\displaystyle \mathrm P(k,\sqrt3)$을 지나므로 대입하여 정리하여 $\displaystyle m$에 대한 이차방정식 $\displaystyle (k^2-1)m^2-2\sqrt3km+1=0$을 얻는다.

아래 그림과 같이 두 접선이 $\displaystyle x$축과 이루는 각을 $\displaystyle \alpha,\beta$ $\displaystyle (\alpha>\beta)$라 하면 $\displaystyle \tan\alpha$, $\displaystyle \tan\beta$는 이 이차방정식의 두 근이고, 근과 계수의 관계에 의하여$\displaystyle \tan\alpha+\tan\beta=\frac{2\sqrt3k}{k^2-1}$과 $\displaystyle \tan\alpha\tan\beta=\frac1{k^2-1}$이다.

$\displaystyle \alpha-\beta=45^\circ$이므로$\displaystyle 1=\tan^2(\alpha-\beta)=\left(\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\right)^2=\frac{(\tan\alpha+\tan\beta)^2-4\tan\alpha\tan\beta}{(1+\tan\alpha\tan\beta)^2}=\frac{\left(\frac{2\sqrt3k}{k^2-1}\right)^2-\frac4{k^2-1}}{\left(1+\frac1{k^2-1}\right)^2}$Comment. $\displaystyle k=0$이면 두 접선의 기울기는 $\displaystyle 1$, $\displaystyle -1$이므로 서로 수직이다. 따라서 주어진 조건에서 제외하고 $\displaystyle k\ne0$인 경우에 탄젠트 식을 사용한다.정리하여 방정식 $\displaystyle (k^2)^2-8k^2-4=0$을 얻는다. $\displaystyle k^2>0$이므로 $\displaystyle k^2=4+2\sqrt5$

직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{AB}_1\mathrm B$, $\displaystyle \mathrm{BC}_1\mathrm C$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{BC}}=\sqrt{a^2+d^2}$이므로 삼각형 ABC는 이등변삼각형이다. 위 그림과 같이 점 B와 선분 AC사이의 거리를 $\displaystyle h$라 하면 삼각형 ABC의 넓이가 $\displaystyle 6\sqrt3$이므로 $\displaystyle h=3$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{BC}}=\sqrt{21}$이다.

직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{AB}_1\mathrm B$와 $\displaystyle \mathrm{AC}_2\mathrm C$에서 $\displaystyle a^2+d^2=21$, $\displaystyle a^2+4d^2=48$이므로 $\displaystyle a=2\sqrt3$ $\displaystyle (d=\pm3)$을 얻는다. 따라서 삼각형 A′B′C′의 넓이는 $\displaystyle 3\sqrt3$이고, 평면 ABC와 평면 $\displaystyle \alpha$가 이루는 각을 $\displaystyle \theta$라 하면 $\displaystyle \cos\theta=\frac12$이다.

삼각형 ABC의 내접원의 반지름의 길이를 $\displaystyle r$라 하고 삼각형 ABC의 넓이를 $\displaystyle S$라 하면 $\displaystyle \frac12(4\sqrt3+2\sqrt{21})r=S=6\sqrt3$이므로 $\displaystyle r=2(\sqrt7-2)$를 얻는다. 삼각형 ABC의 내접원의 그림자의 넓이는 $\displaystyle \pi r^2\cos\theta=\frac12\pi r^2=2(11-4\sqrt7)\pi$이다.