중앙대 2024학년도 수시 자연계열 2교시 4-2번 해설

[문제 4] 다음을 읽고 문제에 답하시오.

● 타원 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 에 접하고 기울기가 $\displaystyle m$ 인 접선의 방정식은 $\displaystyle y=mx\pm\sqrt{a^2m^2+b^2}$ 이다.

● 이차방정식 $\displaystyle ax^2+bx+c=0$ 의 두 근을 $\displaystyle \alpha,\beta$ 라 하면 $\displaystyle \alpha+\beta=-\frac ba$ 이고 $\displaystyle \alpha\beta=\frac ca$ 이다.

● 평면 $\displaystyle \beta$ 위에 있는 도형의 넓이를 $\displaystyle S$ , 이 도형의 평면 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영의 넓이를 $\displaystyle S^{\prime}$ 이라 할 때, 두 평면 $\displaystyle \alpha,\beta$ 가 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta$ $\displaystyle (0^\circ\le\theta\le90^\circ)$ 라 하면 $\displaystyle S^{\prime}=S\cos\theta$ 이다.

[문제 4-2] 넓이가 $\displaystyle 6\sqrt3$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=4\sqrt3$ 인 삼각형 ABC가 평면 $\displaystyle \alpha$ 와 만나지 않게 놓여 있다. 평면 $\displaystyle \alpha$ 에 수직으로 입사하는 빛에 의한 삼각형 ABC의 그림자가 평면 $\displaystyle \alpha$ 위에서 그림과 같이 정삼각형 A′B′C′을 이룬다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AA^{\prime}}}+\overline{\mathrm{CC^{\prime}}}=2\overline{\mathrm{BB^{\prime}}}=10$ 일 때, 삼각형 ABC의 내접원의 그림자의 넓이를 구하시오. [15점]

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[문제 4-2]

$\displaystyle \overline{\mathrm{AA^{\prime}}}=5-d$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{BB^{\prime}}}=5$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{CC^{\prime}}}=5+d$ 라 하고, 정삼각형 A′B′C′의 한 변의 길이를 $\displaystyle a$ 라 하자. 아래 그림과 같이 점 $\displaystyle \mathrm B_1$ , $\displaystyle \mathrm C_1$ , $\displaystyle \mathrm C_2$ 를 선분 BB′ 또는 CC′ 위에서 잡자.

+5점 ·

\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{BC}}=\sqrt{21}

를 구하면

직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{AB}_1\mathrm B$ , $\displaystyle \mathrm{BC}_1\mathrm C$ 에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{BC}}=\sqrt{a^2+d^2}$ 이므로 삼각형 ABC는 이등변삼각형이다. 위 그림과 같이 점 B와 선분 AC사이의 거리를 $\displaystyle h$ 라 하면 삼각형 ABC의 넓이가 $\displaystyle 6\sqrt3$ 이므로 $\displaystyle h=3$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{BC}}=\sqrt{21}$ 이다.

+5점 · 삼각형 A′B′C′의 넓이

\displaystyle 3\sqrt3

을 구하면

직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{AB}_1\mathrm B$ 와 $\displaystyle \mathrm{AC}_2\mathrm C$ 에서 $\displaystyle a^2+d^2=21$ , $\displaystyle a^2+4d^2=48$ 이므로 $\displaystyle a=2\sqrt3$ $\displaystyle (d=\pm3)$ 을 얻는다. 따라서 삼각형 A′B′C′의 넓이는 $\displaystyle 3\sqrt3$ 이고, 평면 ABC와 평면 $\displaystyle \alpha$ 가 이루는 각을 $\displaystyle \theta$ 라 하면 $\displaystyle \cos\theta=\frac12$ 이다.

+5점 · 그림자의 넓이

\displaystyle 2(11-4\sqrt7)\pi

를 구하면 (그림자의 넓이를

\displaystyle \frac{18\pi}{11+4\sqrt7}

로 구해도 +5점)

삼각형 ABC의 내접원의 반지름의 길이를 $\displaystyle r$ 라 하고 삼각형 ABC의 넓이를 $\displaystyle S$ 라 하면 $\displaystyle \frac12(4\sqrt3+2\sqrt{21})r=S=6\sqrt3$ 이므로 $\displaystyle r=2(\sqrt7-2)$ 를 얻는다. 삼각형 ABC의 내접원의 그림자의 넓이는 $\displaystyle \pi r^2\cos\theta=\frac12\pi r^2=2(11-4\sqrt7)\pi$ 이다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 ±1점을 부여할 수 있습니다.

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자연계열 2교시 4-2번

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