경영경제계열 3번

(1) 새로운 노래가 기준 1을 만족하여 음악 평론가가 A가 작곡한 노래의 1개 소절 이상이 유사하다고 판단하는 사건을 $\displaystyle S_1$이라 하자. A가 작곡한 노래에 대한 판단 확률을 $\displaystyle \mathrm P_A$, B가 작곡한 노래에 대한 판단 확률을 $\displaystyle \mathrm P_B$라고 하면, 기준 1에 대한 확률은 다음과 같다.$\displaystyle \mathrm P_A(S_1)=1-(1-a)^2$Caution. 이 풀이는 두 소절에 대한 유사성 판단도 서로 독립이라고 가정한다. 제시문의 독립 조건은 기준 1과 기준 2 사이의 관계에 관한 것이므로, 이 가정이 추가로 필요하다.$\displaystyle \mathrm P_B(S_1)=1-(1-0.2)^2=0.36$

(2) 새로운 노래가 기준 2를 만족하는 사건을 $\displaystyle S_2$라 하고, $\displaystyle X_1$은 A가 작곡한 노래의 후렴구 길이, $\displaystyle X_2$는 B가 작곡한 노래의 후렴구 길이를 나타낸다.$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm P_A(S_2)&=\mathrm P(44\le X_1\le58)=\mathrm P\left(\frac{44-50}4\le Z\le\frac{58-50}4\right)=\mathrm P(-1.5\le Z\le2)\\&=0.43+0.47=0.9\\\mathrm P_B(S_2)&=\mathrm P(44\le X_2\le58)=\mathrm P\left(\frac{44-58}{\frac{14}3}\le Z\le0\right)=\mathrm P(-3\le Z\le0)=0.5\end{aligned}$

(3) 음악 평론가가 노래를 듣고 A가 작곡한 노래라고 판정하는 사건을 $\displaystyle S$라고 하자. 이때 기준 1과 2는 서로 독립적으로 적용되므로 $\displaystyle p$와 $\displaystyle q$는 다음과 같이 계산할 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}p&=\mathrm P_A(S)=\mathrm P_A(S_1\cap S_2)=\mathrm P_A(S_1)\mathrm P_A(S_2)=[1-(1-a)^2]\times0.9\\q&=\mathrm P_B(S)=\mathrm P_B(S_1\cap S_2)=\mathrm P_B(S_1)\mathrm P_B(S_2)=0.36\times0.5\end{aligned}$

$\displaystyle p$가 $\displaystyle q$의 $\displaystyle \frac{16}5$배 이상이 될 $\displaystyle a$의 최솟값은 다음과 같이 계산할 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}[1-(1-a)^2]\times0.9&\ge0.18\times\frac{16}5\\\Rightarrow1-(1-a)^2&\ge0.2\times\frac{16}5=\frac{16}{25}\\\Rightarrow(1-a)^2&\le\frac9{25}\\\Rightarrow-\frac35\le1-a&\le\frac35\\\Rightarrow\frac25\le a&\le\frac85\\\Rightarrow\frac25\le a&\le1\qquad\because\;0\le a\le1\end{aligned}$따라서 $\displaystyle a$의 최솟값은 $\displaystyle \frac25(=0.4)$이다.