자연계열 2교시 2-1번

극한 $\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{e^{f(x)}-e}{x-1}$이 존재하므로, $\displaystyle f(1)=1$이다. $\displaystyle g(x)=e^{f(x)}$라 놓으면, $\displaystyle g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)e^{f(x)}$이고, 주어진 조건으로부터 $\displaystyle g^{\prime}(1)=\lim_{x\to1}\frac{g(x)-g(1)}{x-1}=0$이므로, $\displaystyle f^{\prime}(1)=0$이다.

따라서, $\displaystyle x=1$이 $\displaystyle f(x)-1=0$의 중근임을 알 수 있다. 최고차항의 계수가 1인 삼차함수는 $\displaystyle f(x)-1=(x-1)^2(x-b)$로 놓을 수 있다. $\displaystyle f^{\prime}(x)=(x-1)(3x-2b-1)$이므로, $\displaystyle f^{\prime}(-1)=4(b+2)$이고, $\displaystyle f(-1)=-4b-3$이다. 그러므로, 점 $\displaystyle (-1,f(-1))$에서 접선의 방정식은 $\displaystyle y=4(b+2)x+5$이다. 제시문에 의해 $\displaystyle x=-1$을 포함하는 어떤 구간에서 $\displaystyle y=f(x)$가 아래로 볼록이므로 접선의 방정식이 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프보다 아래에 있고,

둘러싸인 도형의 넓이는$\displaystyle \int_{-1}^0\{(x-1)^2(x-b)-4(b+2)x-4\}dx=\Biggl[\frac{x^4}4-\frac{b+2}3x^3-\frac{2b+7}2x^2-(b+4)x\Biggr]_{x=-1}^0=-\left(\frac{17}{12}+\frac b3\right)$이다. 따라서, $\displaystyle b=-\frac{35}2$이다.

이를 대입하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=(x-1)(3x+34)$이므로, $\displaystyle f^{\prime}\left(\frac13\right)=-\frac{70}3$이다.