자연계열 2교시 2번

극한 $\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{e^{f(x)}-e}{x-1}$이 존재하므로, $\displaystyle f(1)=1$이다. $\displaystyle g(x)=e^{f(x)}$라 놓으면, $\displaystyle g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)e^{f(x)}$이고, 주어진 조건으로부터 $\displaystyle g^{\prime}(1)=\lim_{x\to1}\frac{g(x)-g(1)}{x-1}=0$이므로, $\displaystyle f^{\prime}(1)=0$이다.

따라서, $\displaystyle x=1$이 $\displaystyle f(x)-1=0$의 중근임을 알 수 있다. 최고차항의 계수가 1인 삼차함수는 $\displaystyle f(x)-1=(x-1)^2(x-b)$로 놓을 수 있다. $\displaystyle f^{\prime}(x)=(x-1)(3x-2b-1)$이므로, $\displaystyle f^{\prime}(-1)=4(b+2)$이고, $\displaystyle f(-1)=-4b-3$이다. 그러므로, 점 $\displaystyle (-1,f(-1))$에서 접선의 방정식은 $\displaystyle y=4(b+2)x+5$이다. 제시문에 의해 $\displaystyle x=-1$을 포함하는 어떤 구간에서 $\displaystyle y=f(x)$가 아래로 볼록이므로 접선의 방정식이 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프보다 아래에 있고,

둘러싸인 도형의 넓이는$\displaystyle \int_{-1}^0\{(x-1)^2(x-b)-4(b+2)x-4\}dx=\Biggl[\frac{x^4}4-\frac{b+2}3x^3-\frac{2b+7}2x^2-(b+4)x\Biggr]_{x=-1}^0=-\left(\frac{17}{12}+\frac b3\right)$이다. 따라서, $\displaystyle b=-\frac{35}2$이다.

이를 대입하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=(x-1)(3x+34)$이므로, $\displaystyle f^{\prime}\left(\frac13\right)=-\frac{70}3$이다.

곡선 $\displaystyle y=x^2$과 직선 $\displaystyle y=\frac1{t+1}x+e^{\frac{t^2-2}{t+1}}$가 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle x^2-\frac1{t+1}x-e^{\frac{t^2-2}{t+1}}=0$을 만족하므로, 두 점의 좌표를 $\displaystyle (\alpha,\alpha^2)$, $\displaystyle (\beta,\beta^2)$이라 놓을 수 있다. 따라서, 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 합과 곱은 각각 $\displaystyle \alpha+\beta=\frac1{t+1}$, $\displaystyle \alpha\beta=-e^{\frac{t^2-2}{t+1}}$를 만족한다.

정삼각형의 넓이 $\displaystyle S(t)=\frac{\sqrt3}4\overline{\mathrm{PQ}}^2$이고, 여기서, 두 점 사이의 거리를 이용하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}^2=\left(\sqrt{(\beta-\alpha)^2+(\beta^2-\alpha^2)^2}\right)^2=(\beta-\alpha)^2(1+(\beta+\alpha)^2)$이다. $\displaystyle (\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=\frac1{(t+1)^2}+4e^{\frac{t^2-2}{t+1}}$이다. 따라서, 구하는 정적분은$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1S(t)dt&=\frac{\sqrt3}4\int_0^1\left(\frac1{(t+1)^2}+1\right)\left(\frac1{(t+1)^2}+4e^{\frac{t^2-2}{t+1}}\right)dt\\&=\frac{\sqrt3}4\left\{\int_0^1\frac1{(t+1)^2}+\frac1{(t+1)^4}dt+4\int_0^1e^{t-1-\frac1{t+1}}\left(1+\frac1{(t+1)^2}\right)dt\right\}\end{aligned}$이다.

$\displaystyle \left(t-1-\frac1{t+1}\right)^{\prime}=1+\frac1{(t+1)^2}$이므로, $\displaystyle \int e^{t-1-\frac1{t+1}}\left(1+\frac1{(t+1)^2}\right)dt=e^{t-1-\frac1{t+1}}+C$이다. 따라서, 주어진 정적분을 계산하면$\displaystyle \frac{\sqrt3}4\Biggl[-\frac1{3(t+1)^3}-\frac1{t+1}+4e^{t-1-\frac1{t+1}}\Biggr]_{x=0}^1=\frac{\sqrt3}4\left(\frac{19}{24}+4e^{-\frac12}-4e^{-2}\right)$Correction. 대괄호 아래의 $\displaystyle x=0$은 $\displaystyle t=0$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다.

정리하면 $\displaystyle \frac{19}{96}\sqrt3+\sqrt3(e^{-\frac12}-e^{-2})$이다.