수리논술, 이게 다다.

자연계열 2교시 1번

오류 제보

전체 시험 시간 120분

묶음 시간 2번 전체 묶음: 30분

묶음 시간 3번 전체 묶음: 30분

묶음 시간 4번 전체 묶음: 35분

중앙대 2025학년도 수시 자연계열 2교시 1번 · mathesis.kr/archive/cau/2025su/jayeongyo2_1

이전 문제
배점20점
예상 소요 시간25분
다음 문제

문제

[문제 1] 다음 규칙에 따라 상금을 받는 시행을 한다. 풀이와 함께 물음에 답하시오.

(가) 주머니 A에는 빨간색 공 1개가 들어 있고, 주머니 B에는 파란색 공 5개가 들어 있다. 두 주머니의 공을 주머니 C에 합친 후 임의로 1개를 꺼내서 그 공이 빨간색 공일 때 100만 원의 상금을 받는다. 만일 파란색 공을 꺼낸 경우 상금은 0원이다.

(나) 주머니 C에 합치기 전에, 회당 2만 원의 비용을 지불하면 주머니 A 또는 B를 선택한 후 선택한 주머니에서 임의로 1개의 공을 택하여 제거한다.

(다) (나)는 최대 2회 가능하며, k\displaystyle k (k=1\displaystyle k=1 또는 2\displaystyle 2)번째에서 주머니를 선택하는 규칙은 다음과 같다.- 주머니 A를 선택할 확률은 ak\displaystyle \frac ak이고, 주머니 B를 선택할 확률은 1−ak\displaystyle 1-\frac ak이다.- 주머니 A에 공이 없는 경우 주머니 B에서 공을 택한다.

(라) 공을 제거할 때 지불하는 비용은 상금에서 차감된다. 따라서 상금의 값은 음수가 될 수 있다.

위 시행에서 공을 2회 제거할 때의 상금의 기댓값이 공을 1회 제거할 때의 상금의 기댓값보다 크거나 같도록 하는 a\displaystyle a의 최댓값을 구하시오. (단, 0<a<1\displaystyle 0<a<1이다.) [20점]

해설강의 준비중

중앙대 2025학년도 수시 자연계열 2교시 1번 · mathesis.kr/archive/cau/2025su/jayeongyo2_1

(1) 공을 1회 제거할 때의 상금을 X\displaystyle X(단위: 만 원)라고 하자. X\displaystyle X가 가질 수 있는 값은 -2 또는 98이므로, 각각에 대한 확률을 구한다. X=−2\displaystyle X=-2인 사건을 A\displaystyle A, X=98\displaystyle X=98인 사건을 B\displaystyle B라 하자.

(2) P(A)\displaystyle P(A)는 파란색 공을 꺼낼 확률과 같다. 파란색 공을 꺼내는 사건은 1) 빨간색 공이 제거되어 선택하지 못하는 사건과 2) 빨간색 공이 남아 있지만 꺼내지 못하는 사건으로 나눌 수 있다. 따라서 빨간색 공이 제거된 사건을 E\displaystyle E라고 하면, 확률의 덧셈정리와 곱셈정리에 의해 P(A)\displaystyle P(A)는 다음과 같이 구할 수 있다.P(A)=P(E)P(A∣E)+P(Ec)P(A∣Ec)\displaystyle P(A)=P(E)P(A\mid E)+P(E^c)P(A\mid E^c)

+4점 · P(A)\displaystyle P(A) 또는 P(B)\displaystyle P(B)를 정확히 계산하면

(3) 문제의 조건에 의해 P(E)=a\displaystyle P(E)=a이다. 빨간색 공이 제거되었다면 조건에 의해 선택할 수 없으므로 P(A∣E)=1\displaystyle P(A\mid E)=1이다. 빨간색 공이 제거되지 않았다면 남아 있는 5개의 공 중에 파란색 공이 4개이므로 P(A∣Ec)=45\displaystyle P(A\mid E^c)=\frac45이다. 따라서P(A)=(a×1)+{(1−a)×45}=15a+45\displaystyle P(A)=(a\times1)+\left\{(1-a)\times\frac45\right\}=\frac15a+\frac45이다.

(4) 빨간색 공이 제거되었다면 조건에 의해 선택할 수 없으므로 P(B∣E)=0\displaystyle P(B\mid E)=0이다. 빨간색 공이 제거되지 않았다면 남아 있는 5개의 공 중에 빨간색 공이 1개이므로 P(B∣Ec)=15\displaystyle P(B\mid E^c)=\frac15이다. 따라서 P(B)=(a×0)+{(1−a)×15}=−15a+15\displaystyle P(B)=(a\times0)+\left\{(1-a)\times\frac15\right\}=-\frac15a+\frac15이다. 혹은, X=−2\displaystyle X=-2인 사건과 X=98\displaystyle X=98인 사건은 여사건이므로, P(B)=1−P(A)=−15a+15\displaystyle P(B)=1-P(A)=-\frac15a+\frac15임을 간단하게 구할 수 있다.

+4점 · X\displaystyle X의 기댓값과 Y\displaystyle Y의 기댓값을 정확히 계산하면 각 +4점 (총 +8점)

(5) 따라서, 1개의 공을 제거할 때의 상금의 기댓값은 다음과 같다.E(X)={(−2)×P(A)}+{98×P(B)}={(−2)×(15a+45)}+{98×(−15a+15)}=(−100)×15a+905=−20a+18\displaystyle \begin{aligned}E(X)&=\{(-2)\times P(A)\}+\{98\times P(B)\}=\left\{(-2)\times\left(\frac15a+\frac45\right)\right\}+\left\{98\times\left(-\frac15a+\frac15\right)\right\}\\&=(-100)\times\frac15a+\frac{90}5=-20a+18\end{aligned}

(6) 공을 2회 제거할 때의 상금을 Y\displaystyle Y(단위: 만 원)라고 하자. Y\displaystyle Y가 가질 수 있는 값은 -4 또는 96이다. Y=−4\displaystyle Y=-4인 사건을 C\displaystyle C, Y=96\displaystyle Y=96인 사건을 D\displaystyle D라 하자.

(7) P(C)\displaystyle P(C)는 파란색 공을 꺼낼 확률과 같으므로, 빨간색 공이 제거된 사건을 F\displaystyle F라고 하면 P(C)\displaystyle P(C)는 다음과 같이 구할 수 있다.P(C)=P(F)P(C∣F)+P(Fc)P(C∣Fc)\displaystyle P(C)=P(F)P(C\mid F)+P(F^c)P(C\mid F^c)

(8) 빨간색 공이 제거되지 않을 확률은 P(Fc)=(1−a)(1−a2)=12a2−32a+1\displaystyle P(F^c)=(1-a)\left(1-\frac a2\right)=\frac12a^2-\frac32a+1이다. 따라서 P(F)=1−P(Fc)=−12a2+32a\displaystyle P(F)=1-P(F^c)=-\frac12a^2+\frac32a이다.

+4점 · P(C)\displaystyle P(C) 또는 P(D)\displaystyle P(D)를 정확히 계산하면

(9) 빨간색 공이 제거되었다면 조건에 의해 선택할 수 없으므로 P(C∣F)=1\displaystyle P(C\mid F)=1이다. 빨간색 공이 제거되지 않았다면 남아 있는 4개의 공 중에 파란색 공이 3개이므로 P(C∣Fc)=34\displaystyle P(C\mid F^c)=\frac34이다. 따라서P(C)={(−12a2+32a)×1}+{(12a2−32a+1)×34}=−18a2+38a+34\displaystyle P(C)=\left\{\left(-\frac12a^2+\frac32a\right)\times1\right\}+\left\{\left(\frac12a^2-\frac32a+1\right)\times\frac34\right\}=-\frac18a^2+\frac38a+\frac34이다.

(10) 빨간색 공이 제거되었다면 조건에 의해 선택할 수 없으므로 P(D∣F)=0\displaystyle P(D\mid F)=0이다. 빨간색 공이 제거되지 않았다면 남아 있는 4개의 공 중에 빨간색 공이 1개이므로 P(D∣Fc)=14\displaystyle P(D\mid F^c)=\frac14이다. 따라서P(D)={(−12a2+32a)×0}+{(12a2−32a+1)×14}=18a2−38a+14\displaystyle P(D)=\left\{\left(-\frac12a^2+\frac32a\right)\times0\right\}+\left\{\left(\frac12a^2-\frac32a+1\right)\times\frac14\right\}=\frac18a^2-\frac38a+\frac14이다. 혹은, (4)와 마찬가지로 P(D)=1−P(C)=18a2−38a+14\displaystyle P(D)=1-P(C)=\frac18a^2-\frac38a+\frac14임을 간단하게 구할 수도 있다.

+4점 · X\displaystyle X의 기댓값과 Y\displaystyle Y의 기댓값을 정확히 계산하면 각 +4점 (총 +8점)

(11) 따라서, 공을 2회 제거할 때의 상금의 기댓값은 다음과 같다.E(Y)={(−4)×P(C)}+{96×P(D)}={(−4)×(−18a2+38a+34)}+{96×(18a2−38a+14)}=(100)×(18a2−38a)+844=252a2−752a+21\displaystyle \begin{aligned}E(Y)&=\{(-4)\times P(C)\}+\{96\times P(D)\}\\&=\left\{(-4)\times\left(-\frac18a^2+\frac38a+\frac34\right)\right\}+\left\{96\times\left(\frac18a^2-\frac38a+\frac14\right)\right\}\\&=(100)\times\left(\frac18a^2-\frac38a\right)+\frac{84}4=\frac{25}2a^2-\frac{75}2a+21\end{aligned}

+2점 · 문제의 조건을 만족하는 이차부등식이 정확하면

(12) 조건을 만족하는 a\displaystyle a의 최댓값을 구하기 위해서 다음의 2차 부등식을 풀면 된다.E(Y)≥E(X)⇔252a2−752a+21≥−20a+18⇔25a2−35a+6≥0⇔(5a−1)(5a−6)≥0\displaystyle \begin{aligned}E(Y)&\ge E(X)\\\Leftrightarrow\frac{25}2a^2-\frac{75}2a+21&\ge-20a+18\\\Leftrightarrow25a^2-35a+6&\ge0\\\Leftrightarrow(5a-1)(5a-6)&\ge0\end{aligned}

+2점 · a\displaystyle a의 최댓값을 정확히 계산하면

따라서, 0<a<1\displaystyle 0<a<1을 만족하는 a\displaystyle a의 최댓값은 15\displaystyle \frac15이다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 ±1점을 부여할 수 있습니다.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.