자연계열 2교시 1번

(1) 공을 1회 제거할 때의 상금을 $\displaystyle X$(단위: 만 원)라고 하자. $\displaystyle X$가 가질 수 있는 값은 -2 또는 98이므로, 각각에 대한 확률을 구한다. $\displaystyle X=-2$인 사건을 $\displaystyle A$, $\displaystyle X=98$인 사건을 $\displaystyle B$라 하자.

(2) $\displaystyle P(A)$는 파란색 공을 꺼낼 확률과 같다. 파란색 공을 꺼내는 사건은 1) 빨간색 공이 제거되어 선택하지 못하는 사건과 2) 빨간색 공이 남아 있지만 꺼내지 못하는 사건으로 나눌 수 있다. 따라서 빨간색 공이 제거된 사건을 $\displaystyle E$라고 하면, 확률의 덧셈정리와 곱셈정리에 의해 $\displaystyle P(A)$는 다음과 같이 구할 수 있다.$\displaystyle P(A)=P(E)P(A\mid E)+P(E^c)P(A\mid E^c)$

(4) 빨간색 공이 제거되었다면 조건에 의해 선택할 수 없으므로 $\displaystyle P(B\mid E)=0$이다. 빨간색 공이 제거되지 않았다면 남아 있는 5개의 공 중에 빨간색 공이 1개이므로 $\displaystyle P(B\mid E^c)=\frac15$이다. 따라서 $\displaystyle P(B)=(a\times0)+\left\{(1-a)\times\frac15\right\}=-\frac15a+\frac15$이다. 혹은, $\displaystyle X=-2$인 사건과 $\displaystyle X=98$인 사건은 여사건이므로, $\displaystyle P(B)=1-P(A)=-\frac15a+\frac15$임을 간단하게 구할 수 있다.

(6) 공을 2회 제거할 때의 상금을 $\displaystyle Y$(단위: 만 원)라고 하자. $\displaystyle Y$가 가질 수 있는 값은 -4 또는 96이다. $\displaystyle Y=-4$인 사건을 $\displaystyle C$, $\displaystyle Y=96$인 사건을 $\displaystyle D$라 하자.

(7) $\displaystyle P(C)$는 파란색 공을 꺼낼 확률과 같으므로, 빨간색 공이 제거된 사건을 $\displaystyle F$라고 하면 $\displaystyle P(C)$는 다음과 같이 구할 수 있다.$\displaystyle P(C)=P(F)P(C\mid F)+P(F^c)P(C\mid F^c)$

(8) 빨간색 공이 제거되지 않을 확률은 $\displaystyle P(F^c)=(1-a)\left(1-\frac a2\right)=\frac12a^2-\frac32a+1$이다. 따라서 $\displaystyle P(F)=1-P(F^c)=-\frac12a^2+\frac32a$이다.

(10) 빨간색 공이 제거되었다면 조건에 의해 선택할 수 없으므로 $\displaystyle P(D\mid F)=0$이다. 빨간색 공이 제거되지 않았다면 남아 있는 4개의 공 중에 빨간색 공이 1개이므로 $\displaystyle P(D\mid F^c)=\frac14$이다. 따라서$\displaystyle P(D)=\left\{\left(-\frac12a^2+\frac32a\right)\times0\right\}+\left\{\left(\frac12a^2-\frac32a+1\right)\times\frac14\right\}=\frac18a^2-\frac38a+\frac14$이다. 혹은, (4)와 마찬가지로 $\displaystyle P(D)=1-P(C)=\frac18a^2-\frac38a+\frac14$임을 간단하게 구할 수도 있다.