수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 2교시 2-2번

중앙대 2025학년도 수시 자연계열 2교시 2-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2025su/jayeongyo2_2_2

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[문제 2] 다음을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

● 함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 x=a\displaystyle x=a에서의 미분계수는 다음과 같다.f′(a)=lim⁡x→af(x)−f(a)x−a\displaystyle f^{\prime}(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}

● 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 어떤 구간에서 f′′(x)>0\displaystyle f^{\prime\prime}(x)>0이면 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)는 이 구간에서 아래로 볼록하다.

● 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=a\displaystyle x=a에서 미분가능할 때, 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)위의 점 (a,f(a))\displaystyle (a,f(a))에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.y−f(a)=f′(a)(x−a)\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)

● 두 수 α\displaystyle \alpha, β\displaystyle \beta를 근으로 하고 x2\displaystyle x^2의 계수가 1인 이차방정식은 다음과 같다.x2−(α+β)x+αβ=0\displaystyle x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0

● 미분가능한 함수 g(t)\displaystyle g(t)에 대하여 x=g(t)\displaystyle x=g(t)로 놓으면 ∫f(x)dx=∫f(g(t))g′(t)dt\displaystyle \int f(x)dx=\int f(g(t))g^{\prime}(t)dt이다.

[문제 2-2] 좌표평면 위의 곡선 y=x2\displaystyle y=x^2과 직선 y=1t+1x+et2−2t+1\displaystyle y=\frac1{t+1}x+e^{\frac{t^2-2}{t+1}} (단, t>−1\displaystyle t>-1)가 만나는 서로 다른 두 점을 각각 P, Q라 할 때, 선분 PQ를 한 변으로 하는 정삼각형의 넓이를 S(t)\displaystyle S(t)라 하자. 정적분 ∫01S(t)dt\displaystyle \int_0^1S(t)dt의 값을 구하시오. [15점]

해설강의 준비중

중앙대 2025학년도 수시 자연계열 2교시 2-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2025su/jayeongyo2_2_2

[문제 2-2]

+3점 · 근과 계수의 관계로 α+β=1t+1\displaystyle \alpha+\beta=\frac1{t+1}, αβ=−et2−2t+1\displaystyle \alpha\beta=-e^{\frac{t^2-2}{t+1}}를 구하면

곡선 y=x2\displaystyle y=x^2과 직선 y=1t+1x+et2−2t+1\displaystyle y=\frac1{t+1}x+e^{\frac{t^2-2}{t+1}}가 만나는 점의 x\displaystyle x좌표는 x2−1t+1x−et2−2t+1=0\displaystyle x^2-\frac1{t+1}x-e^{\frac{t^2-2}{t+1}}=0을 만족하므로, 두 점의 좌표를 (α,α2)\displaystyle (\alpha,\alpha^2), (β,β2)\displaystyle (\beta,\beta^2)이라 놓을 수 있다. 따라서, 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 합과 곱은 각각 α+β=1t+1\displaystyle \alpha+\beta=\frac1{t+1}, αβ=−et2−2t+1\displaystyle \alpha\beta=-e^{\frac{t^2-2}{t+1}}를 만족한다.

+3점 · PQ‾2=(1(t+1)2+1)(1(t+1)2+4et2−2t+1)\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}^2=\left(\frac1{(t+1)^2}+1\right)\left(\frac1{(t+1)^2}+4e^{\frac{t^2-2}{t+1}}\right)를 얻으면

정삼각형의 넓이 S(t)=34PQ‾2\displaystyle S(t)=\frac{\sqrt3}4\overline{\mathrm{PQ}}^2이고, 여기서, 두 점 사이의 거리를 이용하면 PQ‾2=((β−α)2+(β2−α2)2)2=(β−α)2(1+(β+α)2)\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}^2=\left(\sqrt{(\beta-\alpha)^2+(\beta^2-\alpha^2)^2}\right)^2=(\beta-\alpha)^2(1+(\beta+\alpha)^2)이다. (α−β)2=(α+β)2−4αβ=1(t+1)2+4et2−2t+1\displaystyle (\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=\frac1{(t+1)^2}+4e^{\frac{t^2-2}{t+1}}이다. 따라서, 구하는 정적분은∫01S(t)dt=34∫01(1(t+1)2+1)(1(t+1)2+4et2−2t+1)dt=34{∫011(t+1)2+1(t+1)4dt+4∫01et−1−1t+1(1+1(t+1)2)dt}\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1S(t)dt&=\frac{\sqrt3}4\int_0^1\left(\frac1{(t+1)^2}+1\right)\left(\frac1{(t+1)^2}+4e^{\frac{t^2-2}{t+1}}\right)dt\\&=\frac{\sqrt3}4\left\{\int_0^1\frac1{(t+1)^2}+\frac1{(t+1)^4}dt+4\int_0^1e^{t-1-\frac1{t+1}}\left(1+\frac1{(t+1)^2}\right)dt\right\}\end{aligned}이다.

+5점 · 부정적분 34[−13(t+1)3−1t+1+4et−1−1t+1]\displaystyle \frac{\sqrt3}4\left[-\frac1{3(t+1)^3}-\frac1{t+1}+4e^{t-1-\frac1{t+1}}\right]를 얻으면

(t−1−1t+1)′=1+1(t+1)2\displaystyle \left(t-1-\frac1{t+1}\right)^{\prime}=1+\frac1{(t+1)^2}이므로, ∫et−1−1t+1(1+1(t+1)2)dt=et−1−1t+1+C\displaystyle \int e^{t-1-\frac1{t+1}}\left(1+\frac1{(t+1)^2}\right)dt=e^{t-1-\frac1{t+1}}+C이다. 따라서, 주어진 정적분을 계산하면34[−13(t+1)3−1t+1+4et−1−1t+1]x=01=34(1924+4e−12−4e−2)\displaystyle \frac{\sqrt3}4\Biggl[-\frac1{3(t+1)^3}-\frac1{t+1}+4e^{t-1-\frac1{t+1}}\Biggr]_{x=0}^1=\frac{\sqrt3}4\left(\frac{19}{24}+4e^{-\frac12}-4e^{-2}\right)Correction. 대괄호 아래의 x=0\displaystyle x=0은 t=0\displaystyle t=0의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다.

+4점 · 정적분을 계산하여 정답 3(1996+e−12−e−2)\displaystyle \sqrt3\left(\frac{19}{96}+e^{-\frac12}-e^{-2}\right)를 얻으면

정리하면 19963+3(e−12−e−2)\displaystyle \frac{19}{96}\sqrt3+\sqrt3(e^{-\frac12}-e^{-2})이다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 ±1점을 부여할 수 있습니다.

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