자연계열 2교시 3-1번

● 두 함수 $\displaystyle f(x)$, $\displaystyle g(x)$가 미분가능할 때, 다음이 성립한다.$\displaystyle \int f(x)g^{\prime}(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime}(x)g(x)dx$

● 좌표평면에서 두 점 $\displaystyle \mathrm{A}(x_1,y_1)$, $\displaystyle \mathrm{B}(x_2,y_2)$사이의 거리는 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$이다.

● 미분가능한 함수 $\displaystyle g(x)$의 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(x)$가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$를 포함하는 열린구간에서 연속이고, $\displaystyle g(a)=\alpha$, $\displaystyle g(b)=\beta$에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$를 양끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다.Caution. 치환적분 공식을 적용하려면 함수 $\displaystyle f$가 $\displaystyle g([a,b])$ 전체에서 연속이어야 한다. $\displaystyle g(x)$가 두 끝값 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$ 사이를 벗어날 수도 있으므로, 두 끝값 사이에서의 연속성만으로는 충분하지 않다.$\displaystyle \int_a^b f(g(x))g^{\prime}(x)dx=\int_\alpha^\beta f(t)dt$