[문제 3-1]
+2점 · a n \displaystyle a_n a n a n = ∫ 1 e ( ln x ) n d x \displaystyle a_n=\int_1^e(\ln x)^n dx a n = ∫ 1 e ( ln x ) n d x Correction. 채점기준 첫 문장의 앞부분 “a n \displaystyle a_n a n
a n + 1 = ∫ 1 e ( ln x ) n + 1 d x \displaystyle a_{n+1}=\int_1^e(\ln x)^{n+1}dx a n + 1 = ∫ 1 e ( ln x ) n + 1 d x
+4점 · a n + 1 + ( n + 1 ) a n = e \displaystyle a_{n+1}+(n+1)a_n=e a n + 1 + ( n + 1 ) a n = e 부분적분을 적용하여 a n + 1 = ∫ 1 e ( ln x ) n + 1 d x = [ x ( ln x ) n + 1 ] 1 e − ∫ 1 e ( n + 1 ) ( ln x ) n d x = e − ( n + 1 ) a n \displaystyle a_{n+1}=\int_1^e(\ln x)^{n+1}dx=\Biggl[x(\ln x)^{n+1}\Biggr]_1^e-\int_1^e(n+1)(\ln x)^n dx=e-(n+1)a_n a n + 1 = ∫ 1 e ( ln x ) n + 1 d x = [ x ( ln x ) n + 1 ] 1 e − ∫ 1 e ( n + 1 ) ( ln x ) n d x = e − ( n + 1 ) a n 을 얻을 수 있다. 정리하면 a n + 1 + ( n + 1 ) a n = e \displaystyle a_{n+1}+(n+1)a_n=e a n + 1 + ( n + 1 ) a n = e
+4점 · 나머지 계산을 하여 수열을 합 e ( 1 ln 1 15 − 1 ln 14 15 ) \displaystyle e\left(\frac1{\ln\frac1{15}}-\frac1{\ln\frac{14}{15}}\right) e ( ln 15 1 1 − ln 15 14 1 ) e ( 1 ln 15 14 − 1 ln 15 ) \displaystyle e\left(\frac1{\ln\frac{15}{14}}-\frac1{\ln15}\right) e ( ln 14 15 1 − ln 15 1 ) Correction. 채점기준의 “수열을 합”은 “수열의 합”의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.
구하는 수열의 합은 다음과 같다. e ∑ n = 1 13 ln ( n + 1 ) − ln ( n ) ln ( n 15 ) ln ( n + 1 15 ) = e ∑ n = 1 13 ln ( n + 1 15 ) − ln ( n 15 ) ln ( n 15 ) ln ( n + 1 15 ) = e ∑ n = 1 13 { 1 ln n 15 − 1 ln n + 1 15 } = e ( 1 ln 1 15 − 1 ln 14 15 ) = e ( 1 ln 15 14 − 1 ln 15 ) \displaystyle \begin{aligned}e\sum_{n=1}^{13}\frac{\ln(n+1)-\ln(n)}{\ln\left(\frac n{15}\right)\ln\left(\frac{n+1}{15}\right)}&=e\sum_{n=1}^{13}\frac{\ln\left(\frac{n+1}{15}\right)-\ln\left(\frac n{15}\right)}{\ln\left(\frac n{15}\right)\ln\left(\frac{n+1}{15}\right)}\\&=e\sum_{n=1}^{13}\left\{\frac1{\ln\frac n{15}}-\frac1{\ln\frac{n+1}{15}}\right\}\\&=e\left(\frac1{\ln\frac1{15}}-\frac1{\ln\frac{14}{15}}\right)=e\left(\frac1{\ln\frac{15}{14}}-\frac1{\ln15}\right)\end{aligned} e n = 1 ∑ 13 ln ( 15 n ) ln ( 15 n + 1 ) ln ( n + 1 ) − ln ( n ) = e n = 1 ∑ 13 ln ( 15 n ) ln ( 15 n + 1 ) ln ( 15 n + 1 ) − ln ( 15 n ) = e n = 1 ∑ 13 { ln 15 n 1 − ln 15 n + 1 1 } = e ( ln 15 1 1 − ln 15 14 1 ) = e ( ln 14 15 1 − ln 15 1 ) 이다.
[문제 3-2]
ln P A ‾ + ln P B ‾ = 1 2 ln ( P A ‾ 2 P B ‾ 2 ) \displaystyle \ln\overline{\mathrm{PA}}+\ln\overline{\mathrm{PB}}=\frac12\ln(\overline{\mathrm{PA}}^2\overline{\mathrm{PB}}^2) ln PA + ln PB = 2 1 ln ( PA 2 PB 2 ) P A ‾ 2 P B ‾ 2 = ( ( x − 1 ) 2 + t 2 ) ( ( x + 1 ) 2 + t 2 ) \displaystyle \overline{\mathrm{PA}}^2\overline{\mathrm{PB}}^2=((x-1)^2+t^2)((x+1)^2+t^2) PA 2 PB 2 = (( x − 1 ) 2 + t 2 ) (( x + 1 ) 2 + t 2 )
식을 정리하면 ( x 2 + 1 + t 2 + 2 x ) ( x 2 + 1 + t 2 − 2 x ) = ( x 2 + 1 + t 2 ) 2 − 4 x 2 = ( x 2 + t 2 − 1 ) 2 + 4 t 2 \displaystyle (x^2+1+t^2+2x)(x^2+1+t^2-2x)=(x^2+1+t^2)^2-4x^2=(x^2+t^2-1)^2+4t^2 ( x 2 + 1 + t 2 + 2 x ) ( x 2 + 1 + t 2 − 2 x ) = ( x 2 + 1 + t 2 ) 2 − 4 x 2 = ( x 2 + t 2 − 1 ) 2 + 4 t 2
+4점 · 0 < t < 1 \displaystyle 0<t<1 0 < t < 1 g ( t ) = ln ( 2 t ) \displaystyle g(t)=\ln(2t) g ( t ) = ln ( 2 t ) 0 < t < 1 \displaystyle 0<t<1 0 < t < 1 x = ± 1 − t 2 \displaystyle x=\pm\sqrt{1-t^2} x = ± 1 − t 2 g ( t ) = ln ( 2 t ) \displaystyle g(t)=\ln(2t) g ( t ) = ln ( 2 t )
+4점 · t ≥ 1 \displaystyle t\ge1 t ≥ 1 g ( t ) = ln ( t 2 + 1 ) \displaystyle g(t)=\ln(t^2+1) g ( t ) = ln ( t 2 + 1 ) t ≥ 1 \displaystyle t\ge1 t ≥ 1 x = 0 \displaystyle x=0 x = 0 g ( t ) = ln ( t 2 + 1 ) \displaystyle g(t)=\ln(t^2+1) g ( t ) = ln ( t 2 + 1 )
구하는 정적분은 ∫ 1 2 2 2 t g ( t ) d t = ∫ 1 2 1 2 t ln ( 2 t ) d t + ∫ 1 2 2 t ln ( t 2 + 1 ) d t \displaystyle \int_{\frac12}^2 2t\,g(t)dt=\int_{\frac12}^1 2t\ln(2t)dt+\int_1^2 2t\ln(t^2+1)dt ∫ 2 1 2 2 t g ( t ) d t = ∫ 2 1 1 2 t ln ( 2 t ) d t + ∫ 1 2 2 t ln ( t 2 + 1 ) d t
+4점 · ∫ 1 2 1 2 t ln ( 2 t ) d t = ln 2 − 3 8 \displaystyle \int_{\frac12}^1 2t\ln(2t)dt=\ln2-\frac38 ∫ 2 1 1 2 t ln ( 2 t ) d t = ln 2 − 8 3 ∫ 1 2 1 2 t ln ( 2 t ) d t = [ t 2 ln ( 2 t ) ] 1 2 1 − ∫ 1 2 1 t d t = ln 2 − 3 8 \displaystyle \int_{\frac12}^1 2t\ln(2t)dt=\Biggl[t^2\ln(2t)\Biggr]_{\frac12}^1-\int_{\frac12}^1 t\,dt=\ln2-\frac38 ∫ 2 1 1 2 t ln ( 2 t ) d t = [ t 2 ln ( 2 t ) ] 2 1 1 − ∫ 2 1 1 t d t = ln 2 − 8 3
+3점 · ∫ 1 2 2 t ln ( t 2 + 1 ) d t = 5 ln 5 − 2 ln 2 − 3 \displaystyle \int_1^2 2t\ln(t^2+1)dt=5\ln5-2\ln2-3 ∫ 1 2 2 t ln ( t 2 + 1 ) d t = 5 ln 5 − 2 ln 2 − 3 ∫ 1 2 2 t ln ( t 2 + 1 ) d t = 5 ln 5 − 2 ln 2 − 3 \displaystyle \int_1^2 2t\ln(t^2+1)dt=5\ln5-2\ln2-3 ∫ 1 2 2 t ln ( t 2 + 1 ) d t = 5 ln 5 − 2 ln 2 − 3 5 ln 5 − ln 2 − 27 8 \displaystyle 5\ln5-\ln2-\frac{27}8 5 ln 5 − ln 2 − 8 27
※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 부분 점수를 부여할 수 있습니다.
※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 ±1점을 부여할 수 있습니다.
수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.