중앙대 2025학년도 수시 자연계열 2교시 3-2번 해설

[문제 3] 다음을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

● 두 함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 가 미분가능할 때, 다음이 성립한다. $\displaystyle \int f(x)g^{\prime}(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime}(x)g(x)dx$

● 좌표평면에서 두 점 $\displaystyle \mathrm{A}(x_1,y_1)$ , $\displaystyle \mathrm{B}(x_2,y_2)$ 사이의 거리는 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$ 이다.

● 미분가능한 함수 $\displaystyle g(x)$ 의 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 를 포함하는 열린구간에서 연속이고, $\displaystyle g(a)=\alpha$ , $\displaystyle g(b)=\beta$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \beta$ 를 양끝으로 하는 닫힌구간에서 연속일 때 다음 식이 성립한다.Caution. 치환적분 공식을 적용하려면 함수 $\displaystyle f$ 가 $\displaystyle g([a,b])$ 전체에서 연속이어야 한다. $\displaystyle g(x)$ 가 두 끝값 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ 사이를 벗어날 수도 있으므로, 두 끝값 사이에서의 연속성만으로는 충분하지 않다. $\displaystyle \int_a^b f(g(x))g^{\prime}(x)dx=\int_\alpha^\beta f(t)dt$

[문제 3-2] 좌표평면 위의 점 A(1,t), B(-1,t), P(x,0)이 있다. 실수 $\displaystyle t$ $\displaystyle (t>0)$ 에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle f(x)=\ln\overline{\mathrm{PA}}+\ln\overline{\mathrm{PB}}$ 이다. 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 최솟값을 $\displaystyle g(t)$ 라 할 때, 정적분 $\displaystyle \int_{\frac12}^2 2t\,g(t)dt$ 의 값을 구하시오. [15점]

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[문제 3-2]

$\displaystyle \ln\overline{\mathrm{PA}}+\ln\overline{\mathrm{PB}}=\frac12\ln(\overline{\mathrm{PA}}^2\overline{\mathrm{PB}}^2)$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}^2\overline{\mathrm{PB}}^2=((x-1)^2+t^2)((x+1)^2+t^2)$ 이다.

식을 정리하면 $\displaystyle (x^2+1+t^2+2x)(x^2+1+t^2-2x)=(x^2+1+t^2)^2-4x^2=(x^2+t^2-1)^2+4t^2$ 이다.

+4점 ·

\displaystyle 0<t<1

이면

\displaystyle g(t)=\ln(2t)

를 구하면

$\displaystyle 0<t<1$ 이면 $\displaystyle x=\pm\sqrt{1-t^2}$ 에서 최솟값 $\displaystyle g(t)=\ln(2t)$ 를 갖는다.

+4점 ·

\displaystyle t\ge1

이면

\displaystyle g(t)=\ln(t^2+1)

을 구하면

$\displaystyle t\ge1$ 이면 $\displaystyle x=0$ 에서 최솟값 $\displaystyle g(t)=\ln(t^2+1)$ 을 갖는다.

구하는 정적분은 $\displaystyle \int_{\frac12}^2 2t\,g(t)dt=\int_{\frac12}^1 2t\ln(2t)dt+\int_1^2 2t\ln(t^2+1)dt$ 이다.

+4점 ·

\displaystyle \int_{\frac12}^1 2t\ln(2t)dt=\ln2-\frac38

을 구하면

$\displaystyle \int_{\frac12}^1 2t\ln(2t)dt=\Biggl[t^2\ln(2t)\Biggr]_{\frac12}^1-\int_{\frac12}^1 t\,dt=\ln2-\frac38$ 이고

+3점 ·

\displaystyle \int_1^2 2t\ln(t^2+1)dt=5\ln5-2\ln2-3

을 구하면

$\displaystyle \int_1^2 2t\ln(t^2+1)dt=5\ln5-2\ln2-3$ 이다. 답은 $\displaystyle 5\ln5-\ln2-\frac{27}8$ 이다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 ±1점을 부여할 수 있습니다.

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자연계열 2교시 3-2번

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