자연계열 2교시 4-1번

$\displaystyle c=\sqrt{16-4}=2\sqrt3$이므로 두 초점 F, F′의 좌표는 각각 $\displaystyle (2\sqrt3,0)$, $\displaystyle (-2\sqrt3,0)$이다.

접선의 기울기를 $\displaystyle m$ $\displaystyle (m<0)$이라 하면 그 방정식은 $\displaystyle y=mx+\sqrt{16m^2+4}$로 주어진다. 접선의 $\displaystyle x$절편과 $\displaystyle y$절편을 구하여 점 Q, R의 좌표가 각각 $\displaystyle \left(\sqrt{16+\frac4{m^2}},0\right)$, $\displaystyle (0,\sqrt{16m^2+4})$임을 알 수 있다. $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}^2$의 값이 최소일 때, $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}$의 값이 최소이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}^2=\overline{\mathrm{OQ}}^2+\overline{\mathrm{OR}}^2=16+\frac4{m^2}+16m^2+4=20+16m^2+\frac4{m^2}\ge20+2\sqrt{16m^2\times\frac4{m^2}}=36$위 부등식에서 등호는 $\displaystyle 16m^2=\frac4{m^2}$일 때 성립한다. 즉, $\displaystyle m=-\frac1{\sqrt2}$일 때이다. 따라서 점 Q, R는 각각 $\displaystyle (2\sqrt6,0)$과 $\displaystyle (0,2\sqrt3)$이다. 또, $\displaystyle \overline{\mathrm{F^{\prime}Q}}=2\sqrt3(\sqrt2+1)$, $\displaystyle \overline{\mathrm{RO}}=2\sqrt3$(O는 원점).

점 P의 좌표를 $\displaystyle (a,b)$라 하면, 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{ax}{16}+\frac{by}4=1$로 주어지고 그 기울기는 $\displaystyle -\frac a{4b}=-\frac1{\sqrt2}$이다. $\displaystyle \frac{a^2}{16}+\frac{b^2}4=1$와 연립하여 $\displaystyle b=\frac2{\sqrt3}$ $\displaystyle (\because b>0)$이다.

점 P에서 $\displaystyle x$축에 내린 수선의 발을 H라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{PH}}=\frac2{\sqrt3}$이므로$\displaystyle \triangle\mathrm{PRF^{\prime}}=\triangle\mathrm{QRF^{\prime}}-\triangle\mathrm{QPF^{\prime}}=\frac12\times\overline{\mathrm{F^{\prime}Q}}\times\overline{\mathrm{RO}}-\frac12\times\overline{\mathrm{F^{\prime}Q}}\times\overline{\mathrm{PH}}=4(\sqrt2+1)$