자연계열 2교시 4번

$\displaystyle c=\sqrt{16-4}=2\sqrt3$이므로 두 초점 F, F′의 좌표는 각각 $\displaystyle (2\sqrt3,0)$, $\displaystyle (-2\sqrt3,0)$이다.

접선의 기울기를 $\displaystyle m$ $\displaystyle (m<0)$이라 하면 그 방정식은 $\displaystyle y=mx+\sqrt{16m^2+4}$로 주어진다. 접선의 $\displaystyle x$절편과 $\displaystyle y$절편을 구하여 점 Q, R의 좌표가 각각 $\displaystyle \left(\sqrt{16+\frac4{m^2}},0\right)$, $\displaystyle (0,\sqrt{16m^2+4})$임을 알 수 있다. $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}^2$의 값이 최소일 때, $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}$의 값이 최소이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}^2=\overline{\mathrm{OQ}}^2+\overline{\mathrm{OR}}^2=16+\frac4{m^2}+16m^2+4=20+16m^2+\frac4{m^2}\ge20+2\sqrt{16m^2\times\frac4{m^2}}=36$위 부등식에서 등호는 $\displaystyle 16m^2=\frac4{m^2}$일 때 성립한다. 즉, $\displaystyle m=-\frac1{\sqrt2}$일 때이다. 따라서 점 Q, R는 각각 $\displaystyle (2\sqrt6,0)$과 $\displaystyle (0,2\sqrt3)$이다. 또, $\displaystyle \overline{\mathrm{F^{\prime}Q}}=2\sqrt3(\sqrt2+1)$, $\displaystyle \overline{\mathrm{RO}}=2\sqrt3$(O는 원점).

점 P의 좌표를 $\displaystyle (a,b)$라 하면, 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{ax}{16}+\frac{by}4=1$로 주어지고 그 기울기는 $\displaystyle -\frac a{4b}=-\frac1{\sqrt2}$이다. $\displaystyle \frac{a^2}{16}+\frac{b^2}4=1$와 연립하여 $\displaystyle b=\frac2{\sqrt3}$ $\displaystyle (\because b>0)$이다.

점 P에서 $\displaystyle x$축에 내린 수선의 발을 H라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{PH}}=\frac2{\sqrt3}$이므로$\displaystyle \triangle\mathrm{PRF^{\prime}}=\triangle\mathrm{QRF^{\prime}}-\triangle\mathrm{QPF^{\prime}}=\frac12\times\overline{\mathrm{F^{\prime}Q}}\times\overline{\mathrm{RO}}-\frac12\times\overline{\mathrm{F^{\prime}Q}}\times\overline{\mathrm{PH}}=4(\sqrt2+1)$

$\displaystyle (m-5)^2+(n-4)^2<9$이므로 두 정수 $\displaystyle m-5$, $\displaystyle n-4$은 모두 -2, -1, 0, 1, 2 중 하나이다. 즉, 점 P의 좌표의 집합은 $\displaystyle S=\{(m,n)\mid m,n\text{은 }3\le m\le7,2\le n\le6\text{인 정수}\}$이다.

원 $\displaystyle (x+1)^2+(y-8)^2=1$의 중심 Z(-1,8)과 좌표가 집합 $\displaystyle S$에 속하는 각각의 점 P(m,n)에 대하여 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}$, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OZ}}$가 이루는 각은 예각이다. 두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}$와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ZQ}}$가 이루는 각을 $\displaystyle \theta$라 하면$\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}}&=\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot(\overrightarrow{\mathrm{OZ}}+\overrightarrow{\mathrm{ZQ}})=\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OZ}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{ZQ}}\\&=\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OZ}}+|\overrightarrow{\mathrm{OP}}||\overrightarrow{\mathrm{ZQ}}|\cos\theta=\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OZ}}+|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|\cos\theta\end{aligned}$이므로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$는 $\displaystyle \theta=0$일 때 최댓값 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OZ}}+|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$를 갖는다.

$\displaystyle m$을 고정하였을 때, $\displaystyle n$이 클수록 두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}$, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OZ}}$가 이루는 각이 작아지고 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$는 커지므로 $\displaystyle n=6$일 때 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OZ}}+|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$가 최대로 커진다. 따라서 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OZ}}+|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$의 최댓값을 찾기 위하여 점 P의 좌표가 (3,6), (4,6), (5,6), (6,6), (7,6)인 경우를 고려하면 된다. 실수에서 정의된 함수 $\displaystyle f(x)=(x,6)\cdot(-1,8)+\sqrt{x^2+36} =x+48+\sqrt{x^2+36}$의 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 $\displaystyle f^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)=-1+\frac x{\sqrt{x^2+36}}<0$을 만족시키므로 $\displaystyle f(x)$는 감소함수이다.Correction. $\displaystyle x+48+\sqrt{x^2+36}$에서 $\displaystyle x$는 $\displaystyle -x$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Correction. 이 줄의 $\displaystyle f^{\prime}(x)$가 한 번 더 반복되어 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

따라서 점 P의 좌표가 (3,6)일 때 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OZ}}+|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$가 최댓값을 갖고 이때 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OZ}}+|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=45+\sqrt{45}$이다. 그러므로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$의 최댓값은 $\displaystyle 45+\sqrt{45}=45+3\sqrt5$이다.