자연계열 2교시 4-2번

$\displaystyle (m-5)^2+(n-4)^2<9$이므로 두 정수 $\displaystyle m-5$, $\displaystyle n-4$은 모두 -2, -1, 0, 1, 2 중 하나이다. 즉, 점 P의 좌표의 집합은 $\displaystyle S=\{(m,n)\mid m,n\text{은 }3\le m\le7,2\le n\le6\text{인 정수}\}$이다.

원 $\displaystyle (x+1)^2+(y-8)^2=1$의 중심 Z(-1,8)과 좌표가 집합 $\displaystyle S$에 속하는 각각의 점 P(m,n)에 대하여 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}$, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OZ}}$가 이루는 각은 예각이다. 두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}$와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{ZQ}}$가 이루는 각을 $\displaystyle \theta$라 하면$\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}}&=\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot(\overrightarrow{\mathrm{OZ}}+\overrightarrow{\mathrm{ZQ}})=\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OZ}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{ZQ}}\\&=\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OZ}}+|\overrightarrow{\mathrm{OP}}||\overrightarrow{\mathrm{ZQ}}|\cos\theta=\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OZ}}+|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|\cos\theta\end{aligned}$이므로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$는 $\displaystyle \theta=0$일 때 최댓값 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OZ}}+|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$를 갖는다.

$\displaystyle m$을 고정하였을 때, $\displaystyle n$이 클수록 두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}$, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OZ}}$가 이루는 각이 작아지고 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$는 커지므로 $\displaystyle n=6$일 때 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OZ}}+|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$가 최대로 커진다. 따라서 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OZ}}+|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$의 최댓값을 찾기 위하여 점 P의 좌표가 (3,6), (4,6), (5,6), (6,6), (7,6)인 경우를 고려하면 된다. 실수에서 정의된 함수 $\displaystyle f(x)=(x,6)\cdot(-1,8)+\sqrt{x^2+36} =x+48+\sqrt{x^2+36}$의 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 $\displaystyle f^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)=-1+\frac x{\sqrt{x^2+36}}<0$을 만족시키므로 $\displaystyle f(x)$는 감소함수이다.Correction. $\displaystyle x+48+\sqrt{x^2+36}$에서 $\displaystyle x$는 $\displaystyle -x$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Correction. 이 줄의 $\displaystyle f^{\prime}(x)$가 한 번 더 반복되어 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

따라서 점 P의 좌표가 (3,6)일 때 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OZ}}+|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$가 최댓값을 갖고 이때 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OZ}}+|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=45+\sqrt{45}$이다. 그러므로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$의 최댓값은 $\displaystyle 45+\sqrt{45}=45+3\sqrt5$이다.