자연계열 3-1번

중앙대 2026학년도 모의 자연계열 3-1번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/cau/2026mo/jayeon_3_1

[문제 3] 다음을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

● 음함수 표현 $\displaystyle f(x,y)=0$ 에서 $\displaystyle y$ 를 $\displaystyle x$ 의 함수로 보고 양변을 $\displaystyle x$ 에 대하여 미분하여 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ 를 구한다.

● 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$ 이고 $\displaystyle x=a$ 의 좌우에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극대이다.

[문제 3-1] 음함수 표현 $\displaystyle \ln x+\ln y+\ln(5-x-y)=0$ 에 대하여 $\displaystyle x=a$ 에서 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=-1$ 이 된다. $\displaystyle a$ 의 가능한 값을 모두 구하시오. [10점]

중앙대 2026학년도 모의 자연계열 3-1번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/cau/2026mo/jayeon_3_1

[문제 3-1]

+4점 ·

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y(2x+y-5)}{x(5-x-2y)}

를 얻으면

로그함수가 정의되기 위하여 $\displaystyle x>0$ , $\displaystyle y>0$ , $\displaystyle 5-x-y>0$ 이다. 또한 로그함수의 성질에 의하여 $\displaystyle xy(5-x-y)=1$ 이다. 음함수 미분을 하고 조건을 고려하면 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y(2x+y-5)}{x(5-x-2y)}=-1$ 이다.

+3점 ·

\displaystyle y-x=0

을 구하면

정리하면 $\displaystyle (y-x)(x+y-5)=0$ 이고 $\displaystyle y-x=0$ 이다.

+3점 ·

\displaystyle a=\frac12

\displaystyle 1+\sqrt2

를 얻은 경우

$\displaystyle xy(5-x-y)=1$ 에 대입하면 $\displaystyle 2x^3-5x^2+1=(2x-1)(x^2-2x-1)=0$ 이다. 가능한 값은 $\displaystyle a=\frac12$ , $\displaystyle 1+\sqrt2$ 이다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 1~2점의 부분 점수를 부여함.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 –0.5~+0.5점 부여 가능함.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.