자연계열 3-2번

중앙대 2026학년도 모의 자연계열 3-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2026mo/jayeon_3_2

[문제 3] 다음을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

● 음함수 표현 $\displaystyle f(x,y)=0$ 에서 $\displaystyle y$ 를 $\displaystyle x$ 의 함수로 보고 양변을 $\displaystyle x$ 에 대하여 미분하여 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ 를 구한다.

● 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$ 이고 $\displaystyle x=a$ 의 좌우에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극대이다.

[문제 3-2] 닫힌구간 $\displaystyle \left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$ 에서 함수 $\displaystyle f(x)=\sin x(\sin x+2\cos x)$ 의 최댓값을 구하시오. [15점]

해설강의 준비중

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[문제 3-2]

+8점 ·

\displaystyle f^{\prime}(x)=2\cos^2x(-\tan^2x+\tan x+1)

를 구하면

$\displaystyle f\left(-\frac\pi2\right)=f\left(\frac\pi2\right)=1$ 이고, 구간 $\displaystyle -\frac\pi2<x<\frac\pi2$ 에서 $\displaystyle \cos x>0$ 이다. 미분하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2\sin x\cos x+2\cos^2x-2\sin^2x=2\cos^2x(-\tan^2x+\tan x+1)$ 이다.

+3점 ·

\displaystyle \tan x=\frac{1+\sqrt5}2

에서 극대임을 구하면

$\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle \tan x=\frac{1-\sqrt5}2$ 에서 극소, $\displaystyle \tan x=\frac{1+\sqrt5}2$ 에서 극대이다.

+4점 · 최댓값

\displaystyle \frac{1+\sqrt5}2

를 구하면

$\displaystyle \tan x=\frac{1+\sqrt5}2$ 에서 최댓값 $\displaystyle \frac{1+\sqrt5}2$ 를 갖는다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 1~2점의 부분 점수를 부여함.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 –0.5~+0.5점 부여 가능함.

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