자연계열 3번

로그함수가 정의되기 위하여 $\displaystyle x>0$, $\displaystyle y>0$, $\displaystyle 5-x-y>0$이다. 또한 로그함수의 성질에 의하여 $\displaystyle xy(5-x-y)=1$이다. 음함수 미분을 하고 조건을 고려하면 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y(2x+y-5)}{x(5-x-2y)}=-1$이다.

정리하면 $\displaystyle (y-x)(x+y-5)=0$이고 $\displaystyle y-x=0$이다.

$\displaystyle xy(5-x-y)=1$에 대입하면 $\displaystyle 2x^3-5x^2+1=(2x-1)(x^2-2x-1)=0$이다. 가능한 값은 $\displaystyle a=\frac12$, $\displaystyle 1+\sqrt2$이다.

$\displaystyle f\left(-\frac\pi2\right)=f\left(\frac\pi2\right)=1$이고, 구간 $\displaystyle -\frac\pi2<x<\frac\pi2$에서 $\displaystyle \cos x>0$이다. 미분하면$\displaystyle f^{\prime}(x)=2\sin x\cos x+2\cos^2x-2\sin^2x=2\cos^2x(-\tan^2x+\tan x+1)$이다.

$\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle \tan x=\frac{1-\sqrt5}2$에서 극소, $\displaystyle \tan x=\frac{1+\sqrt5}2$에서 극대이다.

$\displaystyle \tan x=\frac{1+\sqrt5}2$에서 최댓값 $\displaystyle \frac{1+\sqrt5}2$를 갖는다.