자연계열 4번

왼쪽의 그림과 같이 점 $\displaystyle \mathrm{P}$, $\displaystyle \mathrm{M}$을 점 $\displaystyle \mathrm{A}$에 대하여 대칭 이동한 점을 각각 $\displaystyle \mathrm{P}^{\prime}$, $\displaystyle \mathrm{M}^{\prime}$이라고 하자. 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{EQ}}$를 평행이동하여 시점이 점 $\displaystyle \mathrm{A}$에 놓이도록 하였을 때, 종점을 $\displaystyle \mathrm{Q}^{\prime}$이라고 하자. $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}^{\prime}}=-\overrightarrow{\mathrm{AP}}$이므로$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{EQ}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{AQ}^{\prime}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{AP}^{\prime}}+\overrightarrow{\mathrm{P}^{\prime}\mathrm{Q}^{\prime}}=\overrightarrow{\mathrm{P}^{\prime}\mathrm{Q}^{\prime}}$따라서 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{EQ}}|=|\overrightarrow{\mathrm{P}^{\prime}\mathrm{Q}^{\prime}}|$이다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}}=2$, $\displaystyle \overline{\mathrm{M}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}}=\sqrt3$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}^{\prime}}=2\sqrt3$이므로 좌표평면에 네 점 $\displaystyle \mathrm{B}^{\prime}$, $\displaystyle \mathrm{C}^{\prime}$, $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{M}^{\prime}$을 점 $\displaystyle (0,0)$, $\displaystyle (2,0)$, $\displaystyle (2,2\sqrt3)$, $\displaystyle (0,\sqrt3)$이 되도록 놓을 수 있다. 이때, 점 $\displaystyle \mathrm{P}^{\prime}$과 점 $\displaystyle \mathrm{Q}^{\prime}$이 선분 $\displaystyle \mathrm{M}^{\prime}\mathrm{A}$와 선분 $\displaystyle \mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}$을 각각 $\displaystyle s:1-s\;(0\le s\le1)$과 $\displaystyle t:1-t\;(0\le t\le1)$로 내분한다고 하면, 점 $\displaystyle \mathrm{P}^{\prime}$과 점 $\displaystyle \mathrm{Q}^{\prime}$의 좌표는 각각 $\displaystyle (2s,\sqrt3(1+s))$와 $\displaystyle (2t,0)$이다. $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{P}^{\prime}\mathrm{Q}^{\prime}}|=\sqrt{4(s-t)^2+3(1+s)^2}$에서 $\displaystyle 0\le s\le1$, $\displaystyle 0\le t\le1$이므로 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{P}^{\prime}\mathrm{Q}^{\prime}}|$의 최솟값은 $\displaystyle s=t=0$일 때 $\displaystyle \sqrt3$이고,

최댓값은 $\displaystyle s=1$, $\displaystyle t=0$일 때 4이다. 따라서 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{EQ}}|$의 최솟값과 최댓값의 합은 $\displaystyle 4+\sqrt3$이다.

직선 $\displaystyle \mathrm{O}_1\mathrm{O}_2$의 방정식 $\displaystyle y=-\frac1{2t}(x-t)+t^2$에서 $\displaystyle y$절편을 구하여 $\displaystyle \mathrm{O}_1$의 좌표 $\displaystyle \left(0,t^2+\frac12\right)$를 얻는다.$\displaystyle \overline{\mathrm{PU}}=\frac12\times\overline{\mathrm{VP}}=\frac t2$, $\displaystyle \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{U}}=\frac12\times\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{V}}=\frac12\times(\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}}-\overline{\mathrm{VO}})=\frac14$에서 $\displaystyle \mathrm{O}_2$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{3t}2,t^2-\frac14\right)$임을 알 수 있다.$\displaystyle t^2-\frac14=\overline{\mathrm{O}_2\mathrm{Q}}=\overline{\mathrm{O}_2\mathrm{P}}=\sqrt{\left(\frac{3t}2-t\right)^2+\left(t^2-\frac14-t^2\right)^2}$에서 $\displaystyle t=\frac{\sqrt3}2$이고, $\displaystyle \tan\theta=2t$이므로 $\displaystyle \theta=\frac\pi3$이다.

$\displaystyle \angle\mathrm{PO}_2\mathrm{Q}=\pi-\theta=\frac{2\pi}3$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{Q}}=\frac12$이어서 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{O}_2\mathrm{PQ}$의 넓이는 $\displaystyle \frac\pi{12}$이고, $\displaystyle \angle\mathrm{RO}_1\mathrm{P}=\angle\mathrm{RSO}=\theta=\frac\pi3$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{P}}=2\overline{\mathrm{O}_2\mathrm{Q}}=1$이어서 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{O}_1\mathrm{TP}$의 넓이는 $\displaystyle \frac\pi6$이다.

사다리꼴 $\displaystyle \mathrm{OQO}_2\mathrm{O}_1$의 넓이는 $\displaystyle \frac12\times(\overline{\mathrm{OO}_1}+\overline{\mathrm{O}_2\mathrm{Q}})\times\overline{\mathrm{OQ}}=\frac12\times\left(\frac54+\frac12\right)\times\frac{3\sqrt3}4=\frac{21}{32}\sqrt3$이므로 두 원 $\displaystyle C_1$, $\displaystyle C_2$와 $\displaystyle x$축, $\displaystyle y$축으로 둘러싸인 영역의 넓이는 $\displaystyle \frac{21}{32}\sqrt3-\frac\pi6-\frac\pi{12}=\frac{21}{32}\sqrt3-\frac\pi4$이다.