자연계열 4-1번

왼쪽의 그림과 같이 점 $\displaystyle \mathrm{P}$, $\displaystyle \mathrm{M}$을 점 $\displaystyle \mathrm{A}$에 대하여 대칭 이동한 점을 각각 $\displaystyle \mathrm{P}^{\prime}$, $\displaystyle \mathrm{M}^{\prime}$이라고 하자. 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{EQ}}$를 평행이동하여 시점이 점 $\displaystyle \mathrm{A}$에 놓이도록 하였을 때, 종점을 $\displaystyle \mathrm{Q}^{\prime}$이라고 하자. $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}^{\prime}}=-\overrightarrow{\mathrm{AP}}$이므로$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{EQ}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{AQ}^{\prime}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{AP}^{\prime}}+\overrightarrow{\mathrm{P}^{\prime}\mathrm{Q}^{\prime}}=\overrightarrow{\mathrm{P}^{\prime}\mathrm{Q}^{\prime}}$따라서 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{EQ}}|=|\overrightarrow{\mathrm{P}^{\prime}\mathrm{Q}^{\prime}}|$이다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}}=2$, $\displaystyle \overline{\mathrm{M}^{\prime}\mathrm{B}^{\prime}}=\sqrt3$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}^{\prime}}=2\sqrt3$이므로 좌표평면에 네 점 $\displaystyle \mathrm{B}^{\prime}$, $\displaystyle \mathrm{C}^{\prime}$, $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{M}^{\prime}$을 점 $\displaystyle (0,0)$, $\displaystyle (2,0)$, $\displaystyle (2,2\sqrt3)$, $\displaystyle (0,\sqrt3)$이 되도록 놓을 수 있다. 이때, 점 $\displaystyle \mathrm{P}^{\prime}$과 점 $\displaystyle \mathrm{Q}^{\prime}$이 선분 $\displaystyle \mathrm{M}^{\prime}\mathrm{A}$와 선분 $\displaystyle \mathrm{B}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}$을 각각 $\displaystyle s:1-s\;(0\le s\le1)$과 $\displaystyle t:1-t\;(0\le t\le1)$로 내분한다고 하면, 점 $\displaystyle \mathrm{P}^{\prime}$과 점 $\displaystyle \mathrm{Q}^{\prime}$의 좌표는 각각 $\displaystyle (2s,\sqrt3(1+s))$와 $\displaystyle (2t,0)$이다. $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{P}^{\prime}\mathrm{Q}^{\prime}}|=\sqrt{4(s-t)^2+3(1+s)^2}$에서 $\displaystyle 0\le s\le1$, $\displaystyle 0\le t\le1$이므로 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{P}^{\prime}\mathrm{Q}^{\prime}}|$의 최솟값은 $\displaystyle s=t=0$일 때 $\displaystyle \sqrt3$이고,

최댓값은 $\displaystyle s=1$, $\displaystyle t=0$일 때 4이다. 따라서 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{EQ}}|$의 최솟값과 최댓값의 합은 $\displaystyle 4+\sqrt3$이다.