중앙대 2026학년도 모의 자연계열 4-2번 해설

[문제 4] 다음을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

● 두 벡터 $\displaystyle \vec a$ , $\displaystyle \vec b$ 의 크기와 방향이 각각 같을 때, 두 벡터 $\displaystyle \vec a$ , $\displaystyle \vec b$ 는 서로 같다고 하며, 이것을 기호로 $\displaystyle \vec a=\vec b$ 와 같이 나타낸다.

● 두 벡터 $\displaystyle \vec a$ , $\displaystyle \vec b$ 에 대하여 $\displaystyle \vec a=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ , $\displaystyle \vec b=\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ 일 때, $\displaystyle \vec a+\vec b=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ 이다.

● 포물선 $\displaystyle x^2=4py$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x_1,y_1)$ 에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle x_1x=2p(y+y_1)$ 이다.

[문제 4-2] 그림과 같이 중심이 $\displaystyle y$ 축에 놓인 원 $\displaystyle C_1$ 과 $\displaystyle x$ 축에 접하는 원 $\displaystyle C_2$ 가 점 $\displaystyle \mathrm{P}(t,t^2)$ 에서 포물선 $\displaystyle y=x^2$ 에 접한다. 원 $\displaystyle C_1$ 의 반지름의 길이가 원 $\displaystyle C_2$ 의 반지름의 길이의 두 배일 때, 두 원 $\displaystyle C_1$ , $\displaystyle C_2$ 와 $\displaystyle x$ 축, $\displaystyle y$ 축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오. (단, $\displaystyle t>0$ 이다.) [15점]

중앙대 2026학년도 모의 자연계열 4-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2026mo/jayeon_4_2

[문제 4-2]

좌표평면의 원점을 $\displaystyle \mathrm{O}$ , 원 $\displaystyle C_i\;(i=1,2)$ 의 중심을 $\displaystyle \mathrm{O}_i$ , 점 $\displaystyle \mathrm{O}_2$ 에서 $\displaystyle x$ 축에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{Q}$ , 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 에서의 포물선 $\displaystyle y=x^2$ 의 접선 $\displaystyle y=2tx-t^2$ 이 $\displaystyle y$ 축, $\displaystyle x$ 축과 만나는 점을 각각 $\displaystyle \mathrm{R}$ , $\displaystyle \mathrm{S}$ , 선분 $\displaystyle \mathrm{OO}_1$ 이 원 $\displaystyle C_1$ 과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{T}$ , 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 에서 직선 $\displaystyle \mathrm{O}_2\mathrm{Q}$ 와 $\displaystyle y$ 축에 내린 수선의 발을 각각 $\displaystyle \mathrm{U}$ , $\displaystyle \mathrm{V}$ 라고 하고, $\displaystyle \theta=\angle\mathrm{PSQ}$ 라고 하자.

+5점 ·

\displaystyle t=\frac{\sqrt3}2

를 구하면

직선 $\displaystyle \mathrm{O}_1\mathrm{O}_2$ 의 방정식 $\displaystyle y=-\frac1{2t}(x-t)+t^2$ 에서 $\displaystyle y$ 절편을 구하여 $\displaystyle \mathrm{O}_1$ 의 좌표 $\displaystyle \left(0,t^2+\frac12\right)$ 를 얻는다. $\displaystyle \overline{\mathrm{PU}}=\frac12\times\overline{\mathrm{VP}}=\frac t2$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{U}}=\frac12\times\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{V}}=\frac12\times(\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}}-\overline{\mathrm{VO}})=\frac14$ 에서 $\displaystyle \mathrm{O}_2$ 의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{3t}2,t^2-\frac14\right)$ 임을 알 수 있다. $\displaystyle t^2-\frac14=\overline{\mathrm{O}_2\mathrm{Q}}=\overline{\mathrm{O}_2\mathrm{P}}=\sqrt{\left(\frac{3t}2-t\right)^2+\left(t^2-\frac14-t^2\right)^2}$ 에서 $\displaystyle t=\frac{\sqrt3}2$ 이고, $\displaystyle \tan\theta=2t$ 이므로 $\displaystyle \theta=\frac\pi3$ 이다.

+6점 · 부채꼴

\displaystyle \mathrm{O}_2\mathrm{PQ}

의 넓이

\displaystyle \frac\pi{12}

와 부채꼴

\displaystyle \mathrm{O}_1\mathrm{TP}

의 넓이

\displaystyle \frac\pi6

를 구하면

$\displaystyle \angle\mathrm{PO}_2\mathrm{Q}=\pi-\theta=\frac{2\pi}3$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{Q}}=\frac12$ 이어서 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{O}_2\mathrm{PQ}$ 의 넓이는 $\displaystyle \frac\pi{12}$ 이고, $\displaystyle \angle\mathrm{RO}_1\mathrm{P}=\angle\mathrm{RSO}=\theta=\frac\pi3$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{P}}=2\overline{\mathrm{O}_2\mathrm{Q}}=1$ 이어서 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{O}_1\mathrm{TP}$ 의 넓이는 $\displaystyle \frac\pi6$ 이다.

+4점 · 영역의 넓이

\displaystyle \frac{21}{32}\sqrt3-\frac\pi4

를 구하면

사다리꼴 $\displaystyle \mathrm{OQO}_2\mathrm{O}_1$ 의 넓이는 $\displaystyle \frac12\times(\overline{\mathrm{OO}_1}+\overline{\mathrm{O}_2\mathrm{Q}})\times\overline{\mathrm{OQ}}=\frac12\times\left(\frac54+\frac12\right)\times\frac{3\sqrt3}4=\frac{21}{32}\sqrt3$ 이므로 두 원 $\displaystyle C_1$ , $\displaystyle C_2$ 와 $\displaystyle x$ 축, $\displaystyle y$ 축으로 둘러싸인 영역의 넓이는 $\displaystyle \frac{21}{32}\sqrt3-\frac\pi6-\frac\pi{12}=\frac{21}{32}\sqrt3-\frac\pi4$ 이다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 1~2점의 부분 점수를 부여함.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 –0.5~+0.5점 부여 가능함.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.

자연계열 4-2번

문제

첨삭 사례

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개