자연계열 2교시 3-1번

● 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$에 대하여 미분가능한 함수 $\displaystyle x=g(t)$의 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(t)$가 $\displaystyle a=g(\alpha)$, $\displaystyle b=g(\beta)$일 때 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$를 포함하는 구간에서 연속이면 다음 식이 성립한다.Caution. 치환적분 공식을 적용하려면 함수 $\displaystyle f$가 $\displaystyle g([\alpha,\beta])$ 전체에서 연속이어야 한다. $\displaystyle g(t)$가 두 끝값 $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ 사이를 벗어날 수도 있으므로, 두 끝값 사이에서의 연속성만으로는 충분하지 않다.$\displaystyle \int_a^b f(x)dx=\int_\alpha^\beta f(g(t))g^{\prime}(t)dt$

● 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$에서 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$이고 $\displaystyle x=a$의 좌우에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 극대이고 극댓값은 $\displaystyle f(a)$이다.