자연계열 2교시 2번

집합 $\displaystyle A$의 원소의 개수가 5이므로 $\displaystyle \{a_n\}$의 어느 항 이후 수열의 항들이 반복되어야 하고 반복되는 서로 다른 수는 많아야 5개이다.$\displaystyle n(A)=5$를 만족하는 수열의 어느 항 이후 반복될 부분 5개를 생각해보자.$\displaystyle \alpha\to\beta\to\gamma\to\delta\to\eta$ $\displaystyle (a_m=\alpha,\;a_{m+1}=\beta,\;a_{m+2}=\gamma,\;a_{m+3}=\delta,\;a_{m+4}=\eta)$

모든 수가 3의 배수이면 계속 감소하므로 적어도 하나는 3의 배수가 아니고 $\displaystyle \alpha$가 3의 배수가 아니라고 가정해도 무방하다.$\displaystyle \alpha=3k+1$ 또는 $\displaystyle 3k+2$ ($\displaystyle k$는 0이상인 정수)라면 $\displaystyle \beta=9(k+1)$, $\displaystyle \gamma=3(k+1)$, $\displaystyle \delta=k+1$이고, $\displaystyle \eta=\frac13(k+1)$ ($\displaystyle k+1$이 3의 배수인 경우) 또는 $\displaystyle \eta=3(k+2)$($\displaystyle k$가 3으로 나누었을 때 나머지가 1인 경우) 또는 $\displaystyle \eta=3(k+3)$ ($\displaystyle k$가 3의 배수인 경우)이다.

(i) $\displaystyle \beta=\alpha$인 경우는 수열의 정의에서 가능하지 않다.(ii) $\displaystyle \gamma=\alpha$인 경우는 $\displaystyle 3(k+1)=3k+1$ 또는 $\displaystyle 3(k+1)=3k+2$인데 이를 만족하는 정수 $\displaystyle k$는 없다.

(iii) $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$, $\displaystyle \gamma$가 다른 수이고 $\displaystyle \delta=\alpha$인 경우는 $\displaystyle k+1=3k+1$ 또는 $\displaystyle k+1=3k+2$인데 이를 만족하는 $\displaystyle k=0$, $\displaystyle \alpha=1$이다. 그러므로, $\displaystyle 1\to9\to3\to1\to9\to3\to1\to\ldots$처럼 반복가능하다.

(iv) $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$, $\displaystyle \gamma$, $\displaystyle \delta$가 다른 수이고 $\displaystyle \eta=\alpha$인 경우는 $\displaystyle 3k+1=\frac13(k+1)$ 또는 $\displaystyle 3(k+2)$ 또는 $\displaystyle 3(k+3)$이거나 $\displaystyle 3k+2=\frac13(k+1)$ 또는 $\displaystyle 3(k+2)$ 또는 $\displaystyle 3(k+3)$인데 이를 만족하는 양의 정수 $\displaystyle k$는 존재하지 않는다.

(v) $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$, $\displaystyle \gamma$, $\displaystyle \delta$, $\displaystyle \eta$가 모두 다른 수이고 $\displaystyle \eta$ 다음에 $\displaystyle \alpha$가 오는 경우$\displaystyle (\eta,\alpha)=\left(\frac13(k+1),\frac19(k+1)\right),\;\left(\frac13(k+1),k+4\right),\;\left(\frac13(k+1),k+7\right),\;(3(k+2),k+2),\;(3(k+3),k+3)$인데,(앞의 3경우는 $\displaystyle k$가 3으로 나누었을 때, 나머지가 2인 경우, 뒤의 두 경우는 각각 $\displaystyle k$가 3으로 나누었을 때 나머지가 1인 경우와 3의 배수인 경우) $\displaystyle \alpha\ne1$이면서 가능한 $\displaystyle k$는 존재하지 않는다.

따라서, $\displaystyle n(A)=5$인 경우는 $\displaystyle a_1$, $\displaystyle a_2$가 9, 3, 1과 다른 자연수로 $\displaystyle a_3$이후 9, 3, 1이 반복되는 경우이다.

$\displaystyle a_3=1,3$이 되는 경우 $\displaystyle a_2$는 각각 3, 9만 가능한데 이는 다른 수가 아니므로, 가능한 경우는 $\displaystyle a_3=9$뿐이다.

$\displaystyle a_3=9$인 경우 $\displaystyle a_2=1,2,27$이 가능하고 이 중 1이 아닌 경우는 2, 27이다.

• $\displaystyle a_2=2$인 경우 $\displaystyle a_1=6$

• $\displaystyle a_2=27$인 경우 $\displaystyle \frac13a_1=27$ 혹은 $\displaystyle 3(a_1+1)=27$ 혹은 $\displaystyle 3(a_1+2)=27$이므로, $\displaystyle a_1=81,8,7$

그러므로, 가능한 $\displaystyle a_1=6,7,8,81$이다.

$\displaystyle x-u=t$라 치환하면 $\displaystyle \int_0^x uf^{\prime}(x-u)du=-\int_x^0(x-t)f^{\prime}(t)dt=\int_0^x(x-t)f^{\prime}(t)dt$이다.제시문의 부분적분을 적용하면$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^x(x-t)f^{\prime}(t)dt&=x\int_0^x f^{\prime}(t)dt-\int_0^x tf^{\prime}(t)dt\\&=x(f(x)-f(0))-\Biggl[tf(t)\Biggr]_0^x+\int_0^x f(t)dt=\int_0^x f(t)dt-xf(0)\end{aligned}$를 얻는다.

주어진 식에 의하여 $\displaystyle \int_0^x f(t)dt=-xe^{-x}+x^2+ax+xf(0)$이고 양변을 미분하면$\displaystyle f(x)=(x-1)e^{-x}+2x+f(0)+a$

위 식의 양변에 $\displaystyle x=0$을 대입하면 $\displaystyle a=1$이다.

따라서, $\displaystyle f(x)=(x-1)e^{-x}+2x+1+f(0)$이고, $\displaystyle f^{\prime}(x)=(2-x)e^{-x}+2$이다.이를 이용하면 $\displaystyle (t,f(t))$에서의 접선의 방정식은$\displaystyle y=((2-t)e^{-t}+2)(x-t)+(t-1)e^{-t}+2t+1+f(0)$이고 $\displaystyle g(t)=(t^2-t-1)e^{-t}+1+f(0)$이다.

$\displaystyle \int_{\ln2}^{\ln4}g(t)dt=\int_{\ln2}^{\ln4}(t^2-t-1)e^{-t}+(1+f(0))dt$$\displaystyle \int_{\ln2}^{\ln4}t^2e^{-t}dt=\Biggl[-t^2e^{-t}\Biggr]_{\ln2}^{2\ln2}+2\int_{\ln2}^{2\ln2}te^{-t}dt=\Biggl[-t^2e^{-t}-2te^{-t}-2e^{-t}\Biggr]_{\ln2}^{\ln4}=-\frac12(\ln2)^2+\frac12$,$\displaystyle -\int_{\ln2}^{\ln4}te^{-t}dt=\Biggl[(t+1)e^{-t}\Biggr]_{\ln2}^{\ln4}=-\frac14$, $\displaystyle -\int_{\ln2}^{\ln4}e^{-t}dt=\Biggl[e^{-t}\Biggr]_{\ln2}^{\ln4}=-\frac14$이다.

따라서, $\displaystyle \int_{\ln2}^{\ln4}(t^2-t-1)e^{-t}+(1+f(0))dt=-\frac12(\ln2)^2+(f(0)+1)\ln2$이고, 문제의 조건에 의해 $\displaystyle f(0)=3$이다.

$\displaystyle g(t)=(t^2-t-1)e^{-t}+4$, $\displaystyle g^{\prime}(t)=(-t^2+3t)e^{-t}$이므로 $\displaystyle t=0,3$에서 극값을 갖는다.$\displaystyle t<0$인 경우 $\displaystyle g^{\prime}(t)<0$, $\displaystyle 0<t<3$인 경우 $\displaystyle g^{\prime}(t)>0$, $\displaystyle t>3$인 경우 $\displaystyle g^{\prime}(t)<0$이므로, $\displaystyle t=0$에서 극솟값 $\displaystyle g(0)=3$와 $\displaystyle t=3$에서 극댓값 $\displaystyle g(3)=5e^{-3}+4$를 갖는다.