중앙대 2026학년도 수시 자연계열 2교시 3-2번 해설

[문제 3] 다음을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

● 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 미분가능한 함수 $\displaystyle x=g(t)$ 의 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(t)$ 가 $\displaystyle a=g(\alpha)$ , $\displaystyle b=g(\beta)$ 일 때 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ 를 포함하는 구간에서 연속이면 다음 식이 성립한다.Caution. 치환적분 공식을 적용하려면 함수 $\displaystyle f$ 가 $\displaystyle g([\alpha,\beta])$ 전체에서 연속이어야 한다. $\displaystyle g(t)$ 가 두 끝값 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 사이를 벗어날 수도 있으므로, 두 끝값 사이에서의 연속성만으로는 충분하지 않다. $\displaystyle \int_a^b f(x)dx=\int_\alpha^\beta f(g(t))g^{\prime}(t)dt$

● 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 에서 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$ 이고 $\displaystyle x=a$ 의 좌우에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극대이고 극댓값은 $\displaystyle f(a)$ 이다.

[문제 3-2] $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AC}}$ 이고 $\displaystyle \angle\mathrm{BAC}\le\frac\pi2$ 인 삼각형 ABC가 반지름의 길이가 1인 원에 내접한다. $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=2x$ 라 할 때 함수 $\displaystyle f(x)$ 를 $\displaystyle f(x)=\overline{\mathrm{BC}}^4+\frac{15}4(\overline{\mathrm{AB}}^2+\overline{\mathrm{AC}}^2)$ 으로 정의하자. $\displaystyle f(x)$ 의 최댓값을 구하시오. [15점]

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[문제 3-2]

+4점 · 식

\displaystyle f(x)=16x^4+15(1+\sqrt{1-x^2})

을 세우면

$\displaystyle \angle\mathrm{BAC}\le\frac\pi2$ 이므로 원의 중심이 삼각형 내부나 선분 BC위에 있다. $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=2x$ $\displaystyle (0\le x\le1)$ 라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}^2=4x^2$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}^2=\overline{\mathrm{AC}}^2=2+2\sqrt{1-x^2}$ 이다. 따라서Comment. $\displaystyle x=0$ 에서는 삼각형이 만들어지지 않는다. 여기서는 변의 길이로 얻은 식에 $\displaystyle x=0$ 도 대입하여 비교한 것이다. 최댓값을 갖는 점은 $\displaystyle x>0$ 에 있으므로 답에는 영향이 없다. $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}^4+\frac{15}4(\overline{\mathrm{AB}}^2+\overline{\mathrm{AC}}^2)=16x^4+15(1+\sqrt{1-x^2})$

이고 $\displaystyle x^2=t$ $\displaystyle (0\le t\le1)$ 로 놓고 함수 $\displaystyle f(t)=16t^2+15(1+\sqrt{1-t})$ 의 최댓값을 구하면 된다. 미분하면 $\displaystyle f^{\prime}(t)=32t-\frac{15}2\frac1{\sqrt{1-t}}$ 이고 $\displaystyle f^{\prime}(0)=-\frac{15}2$ 이다. $\displaystyle f^{\prime}(t)=0$ 을 정리하면 다음과 같다. $\displaystyle \begin{aligned}(64)^2t^3-(64)^2t^2+(15)^2&=(16t)^3-16(16t)^2+(15)^2\\&=(16t-15)((16t)^2-16t-15)\end{aligned}$

+8점 ·

\displaystyle f^{\prime}(x)

부호를 살피고

\displaystyle x^2=\frac{15}{16}

에서 극대임을 구하면

$\displaystyle g(t)=(16)^2t^2-16t-15$ 는 중심축이 $\displaystyle \frac1{32}$ 이고 $\displaystyle g(0)<0$ , $\displaystyle g\left(\frac12\right)>0$ 이므로 음근과 양근 $\displaystyle \alpha\left(\frac1{32}<\alpha<\frac12\right)$ 를 갖는다. $\displaystyle f^{\prime}(t)$ 의 부호를 고려하여 곡선의 증가, 감소를 보면 $\displaystyle t=\alpha$ 에서 극소, $\displaystyle t=\frac{15}{16}$ 에서 극대이다.

+3점 · 양 끝점

\displaystyle x=0

,

\displaystyle x=1

에서의 값과 비교하여 최댓값

\displaystyle \frac{525}{16}

을 구하면

$\displaystyle f(0)=30$ 이고 $\displaystyle f(1)=31$ 이다. $\displaystyle f\left(\frac{15}{16}\right)=\frac{525}{16}\;(>32)$ 이므로 구하는 최댓값은 $\displaystyle \frac{525}{16}$ 이다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

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자연계열 2교시 3-2번

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