자연계열 2교시 3번

$\displaystyle \frac{3e^{2x}-6}{e^{2x}+3e^x+2}=e^x-\frac32$를 풀면 $\displaystyle (e^x-1)(e^x-2)(2e^x+3)=0$이다. 두 곡선이 만나는 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle 0,\ln2$이다.

$\displaystyle \int_0^{\ln2}\left(\frac{3(e^{2x}-2)}{e^{2x}+3e^x+2}-e^x+\frac32\right)dx=\int_0^{\ln2}\left(3-\frac3{(e^x+1)}-\frac6{(e^x+2)}-e^x+\frac32\right)dx$

$\displaystyle \begin{aligned}&=\int_0^{\ln2}\left(3-\frac{3e^{-x}}{(1+e^{-x})}-\frac{6e^{-x}}{(1+2e^{-x})}-e^x+\frac32\right)dx\\&=3\ln2+\Biggl[3\ln(1+e^{-x})\Biggr]_0^{\ln2}+\Biggl[3\ln(1+2e^{-x})\Biggr]_0^{\ln2}+\frac32\ln2-1\\&=\frac32\ln2-1\end{aligned}$

$\displaystyle \angle\mathrm{BAC}\le\frac\pi2$이므로 원의 중심이 삼각형 내부나 선분 BC위에 있다. $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=2x$ $\displaystyle (0\le x\le1)$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}^2=4x^2$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}^2=\overline{\mathrm{AC}}^2=2+2\sqrt{1-x^2}$이다. 따라서Comment. $\displaystyle x=0$에서는 삼각형이 만들어지지 않는다. 여기서는 변의 길이로 얻은 식에 $\displaystyle x=0$도 대입하여 비교한 것이다. 최댓값을 갖는 점은 $\displaystyle x>0$에 있으므로 답에는 영향이 없다.$\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}^4+\frac{15}4(\overline{\mathrm{AB}}^2+\overline{\mathrm{AC}}^2)=16x^4+15(1+\sqrt{1-x^2})$

$\displaystyle g(t)=(16)^2t^2-16t-15$는 중심축이 $\displaystyle \frac1{32}$이고 $\displaystyle g(0)<0$, $\displaystyle g\left(\frac12\right)>0$이므로 음근과 양근 $\displaystyle \alpha\left(\frac1{32}<\alpha<\frac12\right)$를 갖는다.$\displaystyle f^{\prime}(t)$의 부호를 고려하여 곡선의 증가, 감소를 보면 $\displaystyle t=\alpha$에서 극소, $\displaystyle t=\frac{15}{16}$에서 극대이다.

$\displaystyle f(0)=30$이고 $\displaystyle f(1)=31$이다. $\displaystyle f\left(\frac{15}{16}\right)=\frac{525}{16}\;(>32)$이므로 구하는 최댓값은 $\displaystyle \frac{525}{16}$이다.