자연계열 2교시 4-1번

중앙대 2026학년도 수시 자연계열 2교시 4-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2026su/jayeongyo2_4_1

[문제 4] 다음을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

● 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm P(x_1,y_1)$ 에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x_1x}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=1$ 이다.

● 오른쪽 그림과 같이 직선 $\displaystyle l$ 을 공유하는 두 반평면 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ 로 이루어진 도형을 이면각이라고 한다. 직선 $\displaystyle l$ 위의 한 점 O를 지나고 $\displaystyle l$ 에 수직인 두 반직선 OA, OB를 각각 반평면 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ 위에 그을 때, $\displaystyle \angle\mathrm{AOB}$ 의 크기는 점 O의 위치에 관계없이 일정하다. 이때 이 각의 크기를 이면각의 크기라고 한다.

[문제 4-1] 오른쪽 그림과 같이 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x^2}6-\frac{y^2}6=1$ 위의 제1사분면에 있는 점 $\displaystyle \mathrm P_1$ 에서의 접선 $\displaystyle l_1$ 이 두 직선 $\displaystyle y=-x$ , $\displaystyle y=x$ 와 만나는 점을 각각 A, B라 하고, 쌍곡선 위의 제2사분면에 있는 점 $\displaystyle \mathrm P_2$ 에서의 접선 $\displaystyle l_2$ 가 두 직선 $\displaystyle y=-x$ , $\displaystyle y=x$ 와 만나는 점을 각각 C, D라 하고, 두 접선 $\displaystyle l_1$ 과 $\displaystyle l_2$ 의 교점을 E라 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}:\overline{\mathrm{OD}}=2:3$ 이고 삼각형 ADE의 넓이가 4일 때, 사각형 ABCD의 넓이를 구하시오. (단, O는 원점이다.) [15점]

해설강의 준비중

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[문제 4-1]

+5점 ·

\displaystyle \triangle\mathrm{OAB}=\triangle\mathrm{OCD}=6

을 구하면

점 $\displaystyle \mathrm P_1$ 의 좌표를 $\displaystyle (x_1,y_1)$ 이라고 하자. 접선 $\displaystyle l_1$ 의 방정식 $\displaystyle \frac{x_1x}6-\frac{y_1y}6=1$ 과 두 직선의 방정식 $\displaystyle y=-x$ , $\displaystyle y=x$ 를 연립하여 계산한 두 점 A, B의 $\displaystyle x$ 좌표의 값에 $\displaystyle \sqrt2$ 를 곱해 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}=\frac{\sqrt2}{\frac{x_1}6+\frac{y_1}6}$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{OB}}=\frac{\sqrt2}{\frac{x_1}6-\frac{y_1}6}$ 를 얻는다. 따라서 $\displaystyle \triangle\mathrm{OAB}=\frac12\times\frac{\sqrt2}{\frac{x_1}6+\frac{y_1}6}\times\frac{\sqrt2}{\frac{x_1}6-\frac{y_1}6}=6$ 이다. 비슷한 방법으로 $\displaystyle \triangle\mathrm{OCD}=6$ 이다.

+3점 · 사각형 ABCD의 넓이

\displaystyle S

를

\displaystyle S=3t^2+12+\frac{12}{t^2}

로 표현하면

$\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}=2t$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{OD}}=3t$ $\displaystyle (t>0)$ 라 놓으면, $\displaystyle \triangle\mathrm{ODA}=3t^2$ 이고, $\displaystyle \triangle\mathrm{OAB}=\triangle\mathrm{OCD}=6$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OB}}=\frac6t$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{OC}}=\frac4t$ 이다. 따라서 $\displaystyle \triangle\mathrm{OBC}=\frac{12}{t^2}$ 이고, 사각형 ABCD의 넓이를 $\displaystyle S$ 라 하면 $\displaystyle S=\triangle\mathrm{ODA}+\triangle\mathrm{OAB}+\triangle\mathrm{OCD}+\triangle\mathrm{OBC}=3t^2+12+\frac{12}{t^2}$ 이다.

+3점 · 두 삼각형 ADE와 BCE의 넓이의 비

\displaystyle t^2:\frac4{t^2}

를 구하면

$\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}:\overline{\mathrm{OD}}=\overline{\mathrm{OC}}:\overline{\mathrm{OB}}$ 이므로 두 직각삼각형 ODA와 OBC는 닮은꼴이고 $\displaystyle \angle\mathrm{ODA}=\angle\mathrm{OBC}$ 이다. 따라서 두 선분 AD와 BC는 평행하고 두 삼각형 ADE와 BCE도 닮았다. 삼각형 ODA에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}}^2=\overline{\mathrm{OA}}^2+\overline{\mathrm{OD}}^2=13t^2$ 이고 삼각형 OBC에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}^2=\overline{\mathrm{OB}}^2+\overline{\mathrm{OC}}^2=\frac{52}{t^2}$ 이므로 두 삼각형 ADE와 BCE의 넓이의 비는 $\displaystyle t^2:\frac4{t^2}$ 이다.

+4점 · 사각형 ABCD의 넓이

\displaystyle S=32

를 구하면

$\displaystyle x=t^2$ $\displaystyle (x>0)$ 이라 놓으면, $\displaystyle \triangle\mathrm{BCE}=S+4=3x+16+\frac{12}x$ 이므로 $\displaystyle x:\frac4x=\triangle\mathrm{ADE}:\triangle\mathrm{BCE}=4:3x+16+\frac{12}x$ 에서 $\displaystyle 0=3x^3+16x^2+12x-16=(x+2)(x+4)(3x-2)$ 를 얻는다. $\displaystyle x>0$ 이므로 $\displaystyle x=\frac23$ 이고 $\displaystyle S=3x+12+\frac{12}x=32$ 이다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

※ 채점자는 답안의 완성도에 따라 ±1점을 부여할 수 있습니다.

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