중앙대 2026학년도 수시 자연계열 2교시 4-2번 해설

[문제 4] 다음을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

● 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm P(x_1,y_1)$ 에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x_1x}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=1$ 이다.

● 오른쪽 그림과 같이 직선 $\displaystyle l$ 을 공유하는 두 반평면 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ 로 이루어진 도형을 이면각이라고 한다. 직선 $\displaystyle l$ 위의 한 점 O를 지나고 $\displaystyle l$ 에 수직인 두 반직선 OA, OB를 각각 반평면 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ 위에 그을 때, $\displaystyle \angle\mathrm{AOB}$ 의 크기는 점 O의 위치에 관계없이 일정하다. 이때 이 각의 크기를 이면각의 크기라고 한다.

[문제 4-2] 오른쪽 그림과 같이 모든 모서리의 길이가 2인 정육면체 ABCD－EFGH에서 변 AE의 중점을 M이라 하자. 삼각형 BMG의 넓이를 $\displaystyle S$ , 사면체 BDMG의 부피를 $\displaystyle V$ , 두 평면 DMB와 DMG가 이루는 예각을 $\displaystyle \alpha$ 라 할 때, $\displaystyle SV\sin\alpha$ 를 구하시오. [15점]

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[문제 4-2]

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\displaystyle S=3

을 구하면

피타고라스의 정리에 의해 $\displaystyle \overline{\mathrm{BG}}=\overline{\mathrm{GD}}=\overline{\mathrm{DB}}=2\sqrt2$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{MB}}=\overline{\mathrm{MD}}=\sqrt5$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{MG}}=3$ 임을 알 수 있다. 이로부터 이등변삼각형 DMB와 정삼각형 BGD의 넓이는 각각 $\displaystyle \sqrt6$ , $\displaystyle 2\sqrt3$ 임을 쉽게 알 수 있다. $\displaystyle \theta=\angle\mathrm{MBG}$ 라 하면 삼각형 BMG에서 $\displaystyle \cos\theta=\frac{5+8-9}{2\times\sqrt5\times2\sqrt2}=\frac1{\sqrt{10}}$ 이므로 $\displaystyle \sin\theta=\frac3{\sqrt{10}}$ 이다. 따라서 삼각형 BMG의 넓이 $\displaystyle S$ 는 $\displaystyle S=\frac12\times\sqrt5\times2\sqrt2\times\frac3{\sqrt{10}}=3$ 이다. 비슷한 방법으로 삼각형 DMG의 넓이도 3이다.

+5점 ·

\displaystyle V=2

를 구하면

직선 AC와 직선 BD의 교점을 $\displaystyle \mathrm B^{\prime}$ 이라 하면, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{MBB^{\prime}}$ 과 삼각형 $\displaystyle \mathrm{MDB^{\prime}}$ 이 합동이므로 선분 $\displaystyle \mathrm{MB^{\prime}}$ 과 선분 BD는 서로 수직이다. 그리고 삼각형 $\displaystyle \mathrm{GBB^{\prime}}$ 과 삼각형 $\displaystyle \mathrm{GDB^{\prime}}$ 이 합동이므로 선분 $\displaystyle \mathrm{GB^{\prime}}$ 과 선분 BD는 서로 수직이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{BB^{\prime}}}=\sqrt2$ 이므로 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{MBB^{\prime}}$ 에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{MB^{\prime}}}=\sqrt{\overline{\mathrm{MB}}^2-\overline{\mathrm{BB^{\prime}}}^2}=\sqrt3$ 이고 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{GBB^{\prime}}$ 에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{GB^{\prime}}}=\sqrt{\overline{\mathrm{BG}}^2-\overline{\mathrm{BB^{\prime}}}^2}=\sqrt6$ 이다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{MG}}^2=\overline{\mathrm{MB^{\prime}}}^2+\overline{\mathrm{GB^{\prime}}}^2$ 이고 $\displaystyle \angle\mathrm{MB^{\prime}G}=90^\circ$ 이다. 즉, 두 평면 DMB와 BGD는 수직으로 만난다. 두 평면 DMB와 BGD가 수직으로 만나므로 점 M에서 평면 BGD에 내린 수선의 발은 점 $\displaystyle \mathrm B^{\prime}$ 이다. 따라서 사면체 BDMG의 부피 $\displaystyle V$ 는 $\displaystyle V=\frac13\times\triangle\mathrm{BGD}\times\overline{\mathrm{MB^{\prime}}}=\frac13\times2\sqrt3\times\sqrt3=2$

+6점 ·

\displaystyle SV\sin\alpha=\sqrt{30}

을 구하면

점 B에서 평면 DMG에 내린 수선의 발을 I라고 하면, $\displaystyle V=\frac13\times\triangle\mathrm{DMG}\times\overline{\mathrm{BI}}$ 에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BI}}=2$ 이다. 점 B에서 직선 MD에 내린 수선의 발을 J라고 하면, $\displaystyle \overline{\mathrm{BJ}}=\frac{2\sqrt6}{\sqrt5}$ 임을 $\displaystyle \triangle\mathrm{DMB}=\frac12\times\overline{\mathrm{MD}}\times\overline{\mathrm{BJ}}$ 에서 알 수 있다. 삼수선의 정리에 의해 두 직선 MD와 IJ는 수직으로 만난다. 따라서 $\displaystyle \alpha=\angle\mathrm{BJI}$ 이고 $\displaystyle \sin\alpha=\frac{\overline{\mathrm{BI}}}{\overline{\mathrm{BJ}}}=\frac{\sqrt{30}}6$ 이고 $\displaystyle SV\sin\alpha=\sqrt{30}$ 이다.

※ 논리 전개 과정이 맞으면 답이 틀리더라도 부분 점수를 부여할 수 있습니다.

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자연계열 2교시 4-2번

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